Exercice 50

On note $A$ la matrice de $f$ dans la base canonique ; ses colonnes sont les images des vecteurs de base, et ses lignes se lisent sur les trois coordonnées de $f(x, y, z)$. $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 3 \\ 6 & -7 & -5 \end{pmatrix}.$$

1. Par la proposition 9 (ii), $\det f = \det A$, que l'on calcule par la règle de Sarrus : $$\det A = 0 + 18 + 7 - 6 - 0 - 5, \qquad \text{soit} \qquad \boxed{\det f = 14 \neq 0}$$ Par le théorème 5 (iii), $f$ est un automorphisme de $\mathbb{R}^{3}$ : il est bijectif.

2. On calcule les neuf cofacteurs $C_{ij} = (-1)^{i + j}\Delta_{ij}$, en lisant les signes sur le damier ; par exemple $C_{11} = (1)(-5) - (3)(-7) = 16$ et $C_{12} = -\big((-1)(-5) - (3)(6)\big) = 13$. On obtient $$\boxed{\operatorname{Com}(A) = \begin{pmatrix} 16 & 13 & 1 \\ -2 & -6 & 6 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}}$$ Par le théorème 8, la matrice de $f^{-1}$ est $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,{\operatorname{Com}(A)}^{T}$ : $$\boxed{\mathrm{Mat}(f^{-1}) = \frac{1}{14}\begin{pmatrix} 16 & -2 & 2 \\ 13 & -6 & -1 \\ 1 & 6 & 1 \end{pmatrix}}$$ On contrôle le produit de la première ligne de $A$ par la première colonne de $A^{-1}$ : $$\frac{1}{14}(0 \times 16 + 1 \times 13 + 1 \times 1) = 1 \ \checkmark$$

3. Le système $AX = B$, avec $B = (2, 4, -2)$, est de Cramer. Par la proposition 14, $x = \frac{\det A_{1}}{14}$, où $A_{1}$ s'obtient en remplaçant la première colonne de $A$ par $B$, et de même pour $y$ et $z$. La règle de Sarrus donne $$\det A_{1} = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \\ -2 & -7 & -5 \end{vmatrix} = 20, \qquad \det A_{2} = \begin{vmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -1 & 4 & 3 \\ 6 & -2 & -5 \end{vmatrix} = 4, \qquad \det A_{3} = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 4 \\ 6 & -7 & -2 \end{vmatrix} = 24,$$ d'où $$\boxed{(x, y, z) = \Big(\frac{10}{7}, \frac{2}{7}, \frac{12}{7}\Big)}$$ La question précédente donne le même résultat : $$A^{-1}B = \frac{1}{14}\big(32 - 8 - 4,\ 26 - 24 + 2,\ 2 + 24 - 2\big) = \frac{1}{14}(20, 4, 24) \ \checkmark$$ On vérifie enfin la première équation : $y + z = \frac{14}{7} = 2$ ✓.

À retenir. Les deux méthodes reviennent au même calcul : la formule de Cramer $x_{i} = \frac{\det A_{i}}{\det A}$ n'est autre que le développement de $\det A_{i}$ par rapport à sa $i$-ième colonne, c'est-à-dire la $i$-ième ligne de $\frac{1}{\det A}{\operatorname{Com}(A)}^{T}B$. Pour un système d'ordre $3$, elles restent raisonnables ; au-delà, la méthode du pivot du chapitre 16 est bien plus économique.