Exercice 15

1. Comme $\gamma$ et $\delta$ commutent, $\delta\gamma\delta^{-1} = \gamma$. Par l'exercice 8, $\delta\gamma\delta^{-1}$ est le cycle de support $\delta(\operatorname{Supp}\gamma)$ ; d'où $\delta(\operatorname{Supp}\gamma) = \operatorname{Supp}\gamma$. Supposons les supports non disjoints, et soit $x$ un élément commun. L'ensemble $\operatorname{Supp}\gamma$ contient $x$ et est stable par $\delta$, donc contient tous les $\delta^{k}(x)$ ; comme $\delta$ est un cycle et que $x$ appartient à son support, ces éléments parcourent tout $\operatorname{Supp}\delta$. Ainsi $\operatorname{Supp}\delta \subset \operatorname{Supp}\gamma$, et, les rôles de $\gamma$ et $\delta$ étant symétriques, on a l'égalité. $$\boxed{\gamma\delta = \delta\gamma \implies \operatorname{Supp}\gamma = \operatorname{Supp}\delta \ \text{ ou } \ \operatorname{Supp}\gamma \cap \operatorname{Supp}\delta = \varnothing}$$

2. Si $\sigma\gamma = \gamma\sigma$, une récurrence immédiate donne $\sigma\gamma^{k} = \gamma^{k}\sigma$ pour tout $k \in \mathbb{N}$. Comme $\gamma^{k}(1) = k + 1$ pour $k \in [\![0\,;n - 1]\!]$, on obtient $$\boxed{\sigma(k + 1) = \sigma\big(\gamma^{k}(1)\big) = \gamma^{k}\big(\sigma(1)\big) \qquad (0 \leqslant k \leqslant n - 1)}$$ Toutes les valeurs de $\sigma$ sont donc déterminées par $\sigma(1)$.

3. Les puissances $\gamma^{k}$ commutent avec $\gamma$. Réciproquement, soit $\sigma$ qui commute avec $\gamma$, et $a = \sigma(1)$. La permutation $\gamma^{a - 1}$ commute avec $\gamma$ et envoie $1$ sur $a$ ; par la question 2, deux permutations qui commutent avec $\gamma$ et prennent la même valeur en $1$ sont égales, donc $\sigma = \gamma^{a - 1}$. Les $n$ puissances $\gamma^{0}$, …, $\gamma^{n - 1}$ sont distinctes, puisqu'elles envoient $1$ sur des éléments distincts. $$\boxed{\{\sigma \in \mathfrak{S}_{n} \mid \sigma\gamma = \gamma\sigma\} = \{\gamma^{k} \mid 0 \leqslant k \leqslant n - 1\}, \quad n \text{ éléments}}$$ À retenir. Le contraste avec l'exercice 10 est instructif : le produit $(1\ 2\ 3)(4\ 5\ 6)$ commute avec $18$ permutations, alors qu'un $6$-cycle ne commute qu'avec ses $6$ puissances. Plus une permutation « mélange », moins elle a de permutations qui commutent avec elle.