Exercice 57

1. Vrai. Par la proposition 3, il suffit d'écrire toute transposition $(a\ b)$, avec $a < b$, comme produit de transpositions de la forme $(k\ \ k + 1)$. On raisonne par récurrence sur $b - a$ : si $b = a + 1$, il n'y a rien à faire, et sinon la formule de conjugaison de l'exercice 8 donne $$(a\ b) = (b - 1\ \ b)(a\ \ b - 1)(b - 1\ \ b),$$ où $(a\ \ b - 1)$ relève de l'hypothèse de récurrence. C'est l'exercice 9, question 2.

2. Faux. Par la proposition 5 (ii), un cycle de longueur $p$ a pour signature $(-1)^{p - 1}$. Une transposition, cycle de longueur $2$, a pour signature $-1$ et non $(-1)^{2} = 1$.

3. Vrai. Par le théorème 2 (i), $\varepsilon(\sigma)^{k} = \varepsilon(\sigma^{k}) = \varepsilon(\mathrm{id}) = 1$. Comme $\varepsilon(\sigma) \in \{-1, 1\}$ et que $k$ est impair, $\varepsilon(\sigma)^{k} = \varepsilon(\sigma)$, donc $\varepsilon(\sigma) = 1$.

4. Faux. Par le théorème 6 (i), $\det(-A) = (-1)^{n}\det A$. Pour $A = I_{2}$, on a $\det(-I_{2}) = 1 \neq -1$.

5. Vrai. Par le théorème 6 (i) et (iv), $\det(A{A}^{T}) = \det(A)\det({A}^{T}) = (\det A)^{2} \geqslant 0$.

6. Faux. La matrice de lignes $(1, 0, 1)$, $(0, 1, 1)$ et $(1, 1, 2)$ n'a aucune ligne nulle, et ses lignes sont deux à deux non proportionnelles. Pourtant $L_{3} = L_{1} + L_{2}$ : ses lignes sont liées, et son déterminant est nul par la proposition 6 (iii), appliquée aux lignes grâce au théorème 6 (iv).

7. Vrai. Si ${A}^{T} = -A$, le théorème 6 donne $\det A = \det({A}^{T}) = \det(-A) = (-1)^{n}\det A = -\det A$, donc $\det A = 0$. C'est le deuxième exemple qui suit le théorème 6, pour $n = 3$.

8. Faux. Avec $n = 2$, $A = D = 0$ et $B = C = I_{2}$, la matrice par blocs est la matrice d'ordre $4$ de colonnes $e_{3}$, $e_{4}$, $e_{1}$, $e_{2}$. Les échanges $C_{1} \leftrightarrow C_{3}$ et $C_{2} \leftrightarrow C_{4}$ la ramènent à $I_{4}$ : son déterminant vaut $(-1)^{2} = 1$ (proposition 10 (iii)), alors que la formule proposée donne $0 - 1 = -1$. La seule formule générale du cours est celle des matrices triangulaires par blocs (proposition 11 (ii)).

9. Vrai. La $j$-ième colonne de $P_{\sigma}$ est $e_{\sigma(j)}$. Dans la formule $\det P_{\sigma} = \sum_{\rho \in \mathfrak{S}_{n}} \varepsilon(\rho)\prod_{j} p_{\rho(j)j}$, le produit vaut $1$ si $\rho(j) = \sigma(j)$ pour tout $j$, et $0$ sinon. Seul le terme $\rho = \sigma$ subsiste : $\det P_{\sigma} = \varepsilon(\sigma)$.

10. Vrai. On calcule $f^{2}$ pour $f = (1\ 3\ 2\ 4)$ : $1 \mapsto 3 \mapsto 2$, $2 \mapsto 4 \mapsto 1$, $3 \mapsto 2 \mapsto 4$, $4 \mapsto 1 \mapsto 3$. $$\boxed{(1\ 3\ 2\ 4)^{2} = (1\ 2)(3\ 4)}$$ C'est la question 2 de l'exercice 11 : le carré d'un $4$-cycle se scinde en deux transpositions.

$$\boxed{\text{Vrai : } 1, 3, 5, 7, 9, 10 ; \qquad \text{Faux : } 2, 4, 6, 8}$$ Piège. Les assertions fausses 2, 4 et 8 proviennent toutes d'une analogie trompeuse : avec les longueurs de cycles, avec le cas $n = 1$, ou avec la formule $ad - bc$ d'ordre $2$. L'assertion 6 rappelle que le déterminant détecte toutes les relations de liaison, et pas seulement les proportionnalités.