Exercice 28

1. Si $z=0$, alors $z\overline{z}=0\neq 1$, donc $z\neq 0$. En divisant $z\overline{z}=1$ par $z$, on obtient $\boxed{\overline{z}=\dfrac{1}{z}}$.

2. D'après la Proposition 5, puis la question 1 : $$\overline{Z}=\frac{\overline{z}-1}{\overline{z}+1}=\frac{\frac{1}{z}-1}{\frac{1}{z}+1}=\frac{1-z}{1+z}=-\frac{z-1}{z+1}=-Z$$ en multipliant numérateur et dénominateur par $z\neq 0$. Ainsi $\boxed{\overline{Z}=-Z}$, et d'après la Proposition 4, $\boxed{Z \text{ est imaginaire pur}}$.

3. Pour $z=\dfrac{3+4i}{5}$, on a $z\overline{z}=\dfrac{9+16}{25}=1$. Puis : $$Z=\frac{\frac{3+4i}{5}-1}{\frac{3+4i}{5}+1}=\frac{-2+4i}{8+4i}=\frac{-1+2i}{4+2i}=\frac{(-1+2i)(4-2i)}{16+4}=\frac{10i}{20}=\frac{i}{2}$$ qui est bien imaginaire pur.

4. On a $\overline{z}=\dfrac{1-iy}{1+iy}$ d'après la Proposition 5, puisque $y$ est réel. Donc : $$z\overline{z}=\frac{1+iy}{1-iy}\times\frac{1-iy}{1+iy}=1$$ On remarque que, si $Z=iy$, alors $z=\dfrac{1+Z}{1-Z}$ et $Z=\dfrac{z-1}{z+1}$ : les questions 2 et 4 sont deux sens d'une même équivalence.