Exercice 27 L'équation de Bombelli

1. Par la formule du binôme : $$(2+i)^{3}=8+3\times 4\times i+3\times 2\times i^{2}+i^{3}=8+12i-6-i \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{(2+i)^{3}=2+11i}$$ En conjuguant (Proposition 5), $(2-i)^{3}=\overline{(2+i)^{3}}=\boxed{2-11i}$.

2. Par la formule du binôme, $s^{3}=(u+v)^{3}=u^{3}+3u^{2}v+3uv^{2}+v^{3}=u^{3}+v^{3}+3uv(u+v)$, d'où $\boxed{s^{3}=u^{3}+v^{3}+3uv\,s}$.

3. On a $u^{3}+v^{3}=2+11i+2-11i=4$ et $uv=(2+i)(2-i)=4+1=5$. D'après la question 2 : $$s^{3}=4+15s$$ donc $s$ est solution de $x^{3}=15x+4$, et $\boxed{s=(2+i)+(2-i)=4}$.

Les nombres $2+i$ et $2-i$ jouent le rôle des « racines cubiques » de $2+11i$ et $2-11i$ dans la formule de Cardan : en passant par les complexes, Bombelli retrouve la solution réelle $4$. C'est exactement ce que décrit l'introduction historique du cours. Les deux autres solutions de l'équation, elles aussi réelles, sont déterminées dans l'exercice 32.