Exercice 26 Binôme de Newton et coefficients binomiaux

1. D'après la formule du binôme, $(1+i)^{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}i^{k}$. D'après l'exercice 3, $i^{k}$ vaut $1$, $i$, $-1$, $-i$ selon que $k$ s'écrit $4q$, $4q+1$, $4q+2$ ou $4q+3$. Les termes d'indice pair sont réels, de signes alternés ($i^{2p}=(-1)^{p}$), et ceux d'indice impair sont imaginaires purs ($i^{2p+1}=(-1)^{p}i$). En regroupant : $$\boxed{(1+i)^{n}=A_{n}+iB_{n}}$$

2. On a $(1+i)^{4}=\big((1+i)^{2}\big)^{2}=(2i)^{2}=-4$. Ainsi $\boxed{(1+i)^{4m}=(-4)^{m}}$ et $\boxed{(1+i)^{4m+1}=(-4)^{m}(1+i)}$.

3. Par identification des parties réelles et imaginaires (les sommes $A_{n}$ et $B_{n}$ sont des entiers) : $$\boxed{A_{4m}=(-4)^{m}, \quad B_{4m}=0, \quad A_{4m+1}=B_{4m+1}=(-4)^{m}}$$

4. Pour $m=2$, on attend $A_{8}=16$ et $B_{8}=0$. Directement : $$A_{8}=1-28+70-28+1=16 \qquad\text{et}\qquad B_{8}=8-56+56-8=0$$ ce qui confirme le résultat.

On obtient sans effort des identités entre coefficients binomiaux qui seraient difficiles à démontrer directement : c'est un premier exemple de l'utilité des complexes pour établir des résultats portant sur des nombres réels.