Exercice 25 Une équation réciproque

1. Pour $z=0$, le membre de gauche vaut $1\neq 0$. Pour $z\neq 0$, on divise par $z^{2}$ : $$(E) \iff z^{2}+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^{2}}=0 \iff \left(z^{2}+\frac{1}{z^{2}}\right)+\left(z+\frac{1}{z}\right)+1=0$$ Or $w^{2}=z^{2}+2+\dfrac{1}{z^{2}}$, donc $z^{2}+\dfrac{1}{z^{2}}=w^{2}-2$, et $(E)$ équivaut à $w^{2}-2+w+1=0$, c'est-à-dire $\boxed{w^{2}+w-1=0}$.

2. Le discriminant vaut $\Delta=1+4=5>0$, d'où $\boxed{w_{1}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \text{ et } w_{2}=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}}$.

3. Il reste à résoudre $z+\dfrac{1}{z}=w$, c'est-à-dire $z^{2}-wz+1=0$, pour $w=w_{1}$ et $w=w_{2}$. Le discriminant vaut $w^{2}-4$.

• Pour $w_{1}$ : $w_{1}^{2}=\dfrac{6-2\sqrt{5}}{4}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$, donc $w_{1}^{2}-4=-\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}<0$, et les solutions sont : $$\frac{w_{1}\pm i\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}{2}=\frac{\sqrt{5}-1\pm i\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$$

• Pour $w_{2}$ : $w_{2}^{2}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$, donc $w_{2}^{2}-4=-\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}<0$, et les solutions sont : $$\frac{-1-\sqrt{5}\pm i\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$$

On en déduit que : $$\boxed{\mathcal{S}=\left\{\frac{\sqrt{5}-1\pm i\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\;;\;\frac{-1-\sqrt{5}\pm i\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\right\}}$$

4. D'après la Proposition 7 du cours, $z^{5}-1=(z-1)(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)$. Les solutions de $z^{5}=1$ sont donc $1$ et les quatre solutions de $(E)$.

L'astuce de la question 1 s'applique à toute équation dont les coefficients sont « symétriques », appelée équation réciproque. Lorsque nous aurons vu la forme trigonométrique, nous reconnaîtrons dans $\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$ la valeur de $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)$.