Feuille d'exercicesMaths expertes, chapitre 2

Nombres complexes

37 exercices corrigés · 13   11   12   1

Forme algébrique et calculs dans $\mathbb{C}$

• Exercice 1 Donner l'expression algébrique des nombres complexes suivants: 1. z=3+2i-1+3i 2. z=6+i-(2+4i) 3. z=12-3i-4+8i-5 4. z=(1+2i)(4+3i) 5. z=(3-i)(2+7i)…
• Exercice 2 1. Développer (1-i)^4 à l'aide du binôme de Newton. 2. Soit a∈ℝ. Pour quelles valeurs de a le nombre (a-i)^3 est-il: (a) Un nombre réel ? (b) Un…
• Exercice 3 1. Calculer i^3, i^4, i^5 et i^6. En déduire la valeur de i^n selon le reste de la division euclidienne de l'entier naturel n par 4. 2. Calculer…
• Exercice 4 En utilisant la multiplication par le conjugué, donner l'expression algébrique des nombres complexes suivants: 1. z= 1/(1-i) 2. z= 1/(2-i√3) 3. z=…
• Exercice 5 1. Déterminer les réels x et y tels que (2x-1)+i(x+y)=5-3i. 2. Déterminer les réels x et y tels que x(1+i)+y(2-3i)=4-i. 3. Déterminer le réel x tel…

Conjugué et équations du premier degré

• Exercice 6 Résoudre les équations suivantes dans ℂ, et donner leur solution sous forme algébrique: 1. (1+i)z=3-i 2. 2z+1-i=iz+2 3. (2z+1-i)(iz+3)=0 4.…
• Exercice 7 Résoudre les systèmes suivants dans ℂ^2: 1. { begin array{ll} 3z+z'=2-5i z-z'=-2+i end array. 2. { begin array{ll} 3z+z'=5+2i -z+z'=1-2i end array.…
• Exercice 8 Résoudre les équations suivantes dans ℂ en donnant l'expression algébrique de z: 1. 2overline z=i-1 2. (2z+1-i)(ioverline z+i-2)=0 3. (overline…
• Exercice 9 Soit z=x+iy avec x et y deux réels. On note Z le nombre: Z=z-2overline z+2 1. Exprimer en fonction de x et y la partie réelle et la partie…
• Exercice 10 Soit z un nombre complexe. Dire si chacune des affirmations suivantes est Vraie ou Fausse, en justifiant par une démonstration ou un contre-exemple.…
• Exercice 11 Pour tout nombre complexe z≠ -i, on pose Z= (z-2)/(z+i), et on écrit z=x+iy avec x et y réels. 1. Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire…

Équations du second degré et équations polynomiales

• Exercice 12 Résoudre dans ℂ les équations suivantes: 1. 2z^2-6z+5=0 2. z^2-5z+9=0 3. z^2-2z+3=0 4. z^2=z+1 5. 4z^2+3z+2=0 6. z^2-2(1+√2)z+2(√2+2)=0
• Exercice 13 1. Déterminer les réels b et c tels que 1+2i soit solution de l'équation z^2+bz+c=0. Quelle est alors l'autre solution ? 2. Déterminer une équation…
• Exercice 14 Résoudre dans ℂ le système suivant: { begin array{ll} z_1z_2=5 z_1+z_2=2 end array.
• Exercice 15 Pour tout réel m, on considère l'équation d'inconnue z∈ℂ: (E_m): z^2+mz+4=0 1. Pour quelles valeurs de m l'équation (E_m) admet-elle deux solutions…
• Exercice 16 Résoudre dans ℂ les équations suivantes: 1. z^4+3z^2+2=0 2. z^4-32z^2-144=0
• Exercice 17 On considère l'équation suivante: z^3+3z^2+z+3=0 1. Montrer que -3 est une solution de l'équation. 2. Résoudre l'équation dans ℂ.
• Exercice 18 Pour chacune des équations suivantes, déterminer une solution évidente et résoudre dans ℂ: 1. z^3-6z^2+12z-7=0 2. z^3+z^2+z+1=0
• Exercice 19 On considère la fonction polynôme P définie sur ℂ par: P(z)=z^4-2z^3+3z^2-2z+2 1. Calculer (1+i)^2, (1+i)^3 et (1+i)^4, puis vérifier que P(1+i)=0.…
• Exercice 20 1. Résoudre dans ℂ l'équation z^3-1=0. 2. On désigne par j le nombre complexe j=- 1/2 +i (√3)/2. (a) Calculer j^2, j^3 et j^2024. (b) Calculer…

Exercices d'approfondissement

• Exercice 21 Soit f la fonction qui à tout complexe z associe: f(z)=z^4-10z^3+38z^2-90z+261 1. Soit b un nombre réel quelconque. Exprimer la partie réelle et la…
• Exercice 22 1. Déterminer les racines quatrièmes de l'unité. 2. Développer (1-2i)^4. 3. En déduire toutes les solutions dans ℂ de l'équation: z^4=-7+24i
• Exercice 23 · Racines carrées d'un nombre complexe On appelle racine carrée d'un nombre complexe Z tout nombre complexe z tel que z^2=Z. On n'utilisera jamais la notation √Z lorsque Z n'est pas un…
• Exercice 24 · Équation du second degré à coefficients complexes Soient a, b et c trois nombres complexes avec a≠ 0. On pose Δ=b^2-4ac, et on note δ une racine carrée de Δ (qui existe d'après l'exercice 23). 1.…
• Exercice 25 · Une équation réciproque On considère l'équation (E): z^4+z^3+z^2+z+1=0, d'inconnue z∈ℂ. 1. Vérifier que 0 n'est pas solution de (E). En divisant par z^2 et en posant w=z+…
• Exercice 26 · Binôme de Newton et coefficients binomiaux Pour tout entier naturel n, on note A_n et B_n les sommes: A_n=binom n{0}-binom n{2}+binom n{4}-binom n{6}+… et B_n=binom n{1}-binom n{3}+binom…
• Exercice 27 · L'équation de Bombelli En 1572, Bombelli étudie l'équation x^3=15x+4, dont 4 est une solution évidente. La formule de Cardan lui fournit pourtant l'expression déroutante…
• Exercice 28 Soit z un nombre complexe tel que zoverline z=1 et z≠ -1. On pose Z= (z-1)/(z+1). 1. Montrer que z≠ 0 et que overline z= 1/z. 2. Exprimer overline Z…

Pour aller plus loin

• Exercice 29 Soit z= (-4)/(1+i√3). Calculer z^3.
• Exercice 30 a) Quels sont les nombres complexes dont le carré est un nombre réel ? b) Quels sont les nombres complexes dont le carré est un nombre imaginaire…
• Exercice 31 Trouver les nombres complexes non nuls z tels que Z=z+ 1/z soit réel. Idem en remplaçant « réel » par « imaginaire pur ».
• Exercice 32 1. Soient P une fonction polynomiale à coefficients réels, z dans ℂ une racine de P. Montrer que overline z est racine de P. 2. a) Vérifier que 4…
• Exercice 33 1. Déterminer sous forme algébrique les racines carrées de 3+4i, 3-3i, 5-2i dans ℂ. 2. Résoudre dans ℂ les équations: z^2-2iz+i=0, z^2+iz-1=0,…
• Exercice 34 Résoudre dans ℂ l'équation z^8-z^4+1=0.
• Exercice 35 Pour λ dans ℝ, soit E_λ l'équation d'inconnue complexe z: z^2-2λ z+1=0. Décrire l'ensemble des racines des équations E_λ lorsque λ parcourt ℝ.
• Exercice 36 Résoudre dans ℂ l'équation z^3-6z-40=0. En déduire que √[3]20+14√2+√[3]20-14√2=4.
• Exercice 37 · Caractérisation de la conjugaison Dans les questions a), b), c), f est une application de ℝ dans ℝ telle que f(1)=1 et que ∀ (x,y)∈ℝ^2, f(x+y)=f(x)+f(y), f(xy)=f(x) f(y). a) Montrer…