Exercice 22

1. Les racines $4$-ièmes de l'unité sont les solutions de l'équation $z^4=1$. On factorise : $$\begin{aligned} z^4=1 &\iff z^4-1=0\\ &\iff (z^2-1)(z^2+1)=0\\ &\iff (z-1)(z+1)(z-i)(z+i)=0 \end{aligned}$$ Un produit étant nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul, on en déduit donc que : $$\boxed{\mathcal{S}=\{1\;;\;-1\;;\;i\;;\;-i\}}$$

2. On développe en deux étapes : $$(1-2i)^2=1-4i+4i^2=-3-4i$$ Puis : $$\begin{aligned} (1-2i)^4=\big((1-2i)^2\big)^2 &= (-3-4i)^2\\ &= 9+24i+16i^2\\ &= 9+24i-16 \end{aligned}$$

3. D'après la question précédente, l'équation étudiée s'écrit : $$z^4=-7+24i \iff z^4=(1-2i)^4$$ Le nombre $1-2i$ étant non nul, on peut poser $Z=\dfrac{z}{1-2i}$, ce qui donne : $$z^4=(1-2i)^4 \iff \left(\frac{z}{1-2i}\right)^4=1 \iff Z^4=1$$ On est ainsi ramené à la question 1. : le nombre $Z$ est une racine $4$-ième de l'unité, autrement dit $Z\in\{1\;;\;-1\;;\;i\;;\;-i\}$, et donc $z=Z\times(1-2i)$ avec : $$\begin{aligned} 1\times(1-2i) &= 1-2i\\ -1\times(1-2i) &= -1+2i\\ i\times(1-2i) &= i-2i^2=2+i\\ -i\times(1-2i) &= -i+2i^2=-2-i \end{aligned}$$ On en déduit enfin que : $$\boxed{\mathcal{S}=\{1-2i\;;\;-1+2i\;;\;2+i\;;\;-2-i\}}$$