Exercice 21

Soit $f$ la fonction qui à tout complexe $z$ associe $f(z)=z^4-10z^3+38z^2-90z+261$.

1. Soit $b$ un réel quelconque. On utilise les puissances successives de $i$, à savoir $i^2=-1$, $i^3=-i$ et $i^4=1$ : $$\begin{aligned} f(ib) &= (ib)^4-10(ib)^3+38(ib)^2-90(ib)+261\\ &= i^4b^4-10i^3b^3+38i^2b^2-90ib+261\\ &= b^4+10ib^3-38b^2-90ib+261\\ &= \underbrace{\left(b^4-38b^2+261\right)}_{\in\mathbb{R}}+i\underbrace{\left(10b^3-90b\right)}_{\in\mathbb{R}} \end{aligned}$$ On en déduit donc que : $$\boxed{\mathcal{R}e\big(f(ib)\big)=b^4-38b^2+261 \qquad\text{et}\qquad \mathcal{I}m\big(f(ib)\big)=10b^3-90b}$$

2. Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont toutes deux nulles. On commence par la partie imaginaire, plus simple à factoriser : $$10b^3-90b=0 \iff 10b(b^2-9)=0 \iff b\in\{-3\;;\;0\;;\;3\}$$ Il reste à vérifier lesquelles de ces valeurs annulent également la partie réelle : $$\begin{aligned} b=0 &\;:\; 0-0+261=261\neq 0\\ b=\pm 3 &\;:\; 81-38\times 9+261=81-342+261=0 \end{aligned}$$ On en déduit donc que l'équation $f(z)=0$ admet exactement deux solutions imaginaires pures : $$\boxed{z=-3i \qquad\text{et}\qquad z=3i}$$

3. Puisque $3i$ et $-3i$ sont racines de $f$, le polynôme $f(z)$ est divisible par : $$(z-3i)(z+3i)=z^2-(3i)^2=z^2+9$$ On cherche donc trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que : $$f(z)=(z^2+9)(az^2+bz+c)$$ En développant le membre de droite, on obtient $az^4+bz^3+(c+9a)z^2+9bz+9c$, et par identification : $$\left\{\begin{array}{l} a=1\\ b=-10\\ c+9a=38\\ 9b=-90\\ 9c=261\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l} a=1\\ b=-10\\ c=29\end{array}\right.$$ On obtient ainsi la factorisation : $$\boxed{f(z)=(z^2+9)(z^2-10z+29)}$$ Il reste enfin à résoudre $z^2-10z+29=0$, dont le discriminant vaut : $$\Delta=100-116=-16<0 \qquad\text{et}\qquad \sqrt{16}=4$$ Les solutions de cette équation sont donc $\dfrac{10\pm 4i}{2}=5\pm 2i$, ce qui donne enfin : $$\boxed{\mathcal{S}=\{-3i\;;\;3i\;;\;5-2i\;;\;5+2i\}}$$