Exercice 20

1. On factorise en reconnaissant $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$. En effet : $$(z-1)(z^2+z+1)=z^3+z^2+z-z^2-z-1=z^3-1$$ On aurait également pu vérifier que $1$ était solution, et factoriser par identification comme dans l'exercice 18. Un produit étant nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul, on résout donc $z^2+z+1=0$, dont le discriminant vaut : $$\Delta=1-4=-3<0$$ Les solutions de cette équation sont donc $\dfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$, ce qui donne enfin : $$\boxed{\mathcal{S}=\left\{1\;;\;-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\;;\;-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right\}}$$

2. On pose $j=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

(a) On calcule tout d'abord $j^2$ : $$\begin{aligned} j^2 &= \left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\\ &= \frac{1}{4}-2\times\frac{1}{2}\times i\frac{\sqrt{3}}{2}+i^2\frac{3}{4}\\ &= \frac{1}{4}-\frac{3}{4}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$$

$$\boxed{j^2=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}}$$ On en déduit ensuite : $$j^3=j\times j^2=\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =\frac{1}{4}+\frac{3}{4}$$

$$\boxed{j^3=1}$$ Ce qui était attendu puisque $j$ est, d'après la question 1., une solution de $z^3-1=0$. Enfin, la division euclidienne de $2024$ par $3$ donne $2024=3\times 674+2$, ainsi : $$j^{2024}=j^{3\times 674+2}=\left(j^3\right)^{674}\times j^2=1^{674}\times j^2$$

(b) La somme $S=1+j+j^2+j^3+\dots+j^{2024}$ comporte $2025$ termes. Or $j$ est solution de $z^2+z+1=0$ d'après la question 1., c'est-à-dire : $$1+j+j^2=0$$ De plus, comme $j^3=1$, on a pour tout $k\in\mathbb{N}$ : $$j^{3k}+j^{3k+1}+j^{3k+2}=j^{3k}\left(1+j+j^2\right)=0$$ Comme $2025=3\times 675$, on peut regrouper les $2025$ termes de la somme en exactement $675$ paquets de trois termes consécutifs, tous nuls. On en déduit donc que : $$\boxed{S=0}$$