Exercice 19

1. On a $(1+i)^{2}=2i$, puis $(1+i)^{3}=2i(1+i)=-2+2i$ et $(1+i)^{4}=(2i)^{2}=-4$. Ainsi : $$\begin{aligned} P(1+i) &= -4-2(-2+2i)+3\times 2i-2(1+i)+2\\ &= -4+4-4i+6i-2-2i+2 = 0 \end{aligned}$$ Donc $\boxed{1+i \text{ est une racine de } P}$.

2. Les coefficients de $P$ sont réels, donc égaux à leurs conjugués. D'après la Proposition 5 (conjugué d'une somme, d'un produit et d'une puissance) : $$\overline{P(z)}=\overline{z}^{4}-2\overline{z}^{3}+3\overline{z}^{2}-2\overline{z}+2=P(\overline{z})$$ Ainsi $P(1-i)=P\big(\overline{1+i}\big)=\overline{P(1+i)}=\overline{0}=0$ : $\boxed{1-i \text{ est aussi une racine de } P}$. Ce raisonnement est généralisé dans l'exercice 32.

3. On reconnaît $(z-1-i)(z-1+i)=(z-1)^{2}-i^{2}=z^{2}-2z+2$. On cherche $Q(z)=az^{2}+bz+c$ tel que $P(z)=(z^{2}-2z+2)(az^{2}+bz+c)$. En développant : $$(z^{2}-2z+2)(az^{2}+bz+c)=az^{4}+(b-2a)z^{3}+(c-2b+2a)z^{2}+(2b-2c)z+2c$$ et par identification : $$\left\{\begin{array}{l} a=1\\ b-2a=-2\\ c-2b+2a=3\\ 2b-2c=-2\\ 2c=2\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l} a=1\\ b=0\\ c=1\end{array}\right. \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{P(z)=(z^{2}-2z+2)(z^{2}+1)}$$

4. Un produit étant nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $z^{2}-2z+2=0$ donne $z=1\pm i$, et $z^{2}+1=0$ donne $z=\pm i$. Ainsi : $$\boxed{\mathcal{S}=\{1+i\;;\;1-i\;;\;i\;;\;-i\}}$$