Exercice 18

1. On note $P(z)=z^3-6z^2+12z-7$ et on teste les petites valeurs entières : $$P(1)=1-6+12-7=0$$ Ainsi $1$ est une solution évidente, et on peut factoriser $P(z)$ par $(z-1)$ : $$z^3-6z^2+12z-7=(z-1)(az^2+bz+c)$$ En développant, on obtient $az^3+(b-a)z^2+(c-b)z-c$, et par identification : $$\left\{\begin{array}{l} a=1\\ b-a=-6\\ c-b=12\\ -c=-7\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l} a=1\\ b=-5\\ c=7\end{array}\right.$$ Il reste alors à résoudre $z^2-5z+7=0$, dont le discriminant vaut : $$\Delta=25-28=-3<0$$ Les solutions de cette équation sont donc $\dfrac{5\pm i\sqrt{3}}{2}$, ce qui donne enfin : $$\boxed{\mathcal{S}=\left\{1\;;\;\frac{5-i\sqrt{3}}{2}\;;\;\frac{5+i\sqrt{3}}{2}\right\}}$$

2. On note $P(z)=z^3+z^2+z+1$ et on constate que : $$P(-1)=-1+1-1+1=0$$ Ainsi $-1$ est une solution évidente. On peut ici factoriser directement par regroupement : $$z^3+z^2+z+1=z^2(z+1)+(z+1)=(z+1)(z^2+1)$$ Un produit étant nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $$z+1=0 \iff z=-1 \qquad\text{ou}\qquad z^2=-1 \iff z=\pm i$$ On en déduit donc que : $$\boxed{\mathcal{S}=\{-1\;;\;-i\;;\;i\}}$$