Exercice 17

1. On note $P(z)=z^3+3z^2+z+3$ et on évalue ce polynôme en $-3$ : $$\begin{aligned} P(-3) &= (-3)^3+3\times(-3)^2+(-3)+3\\ &= -27+27-3+3=0 \end{aligned}$$ Ce qui prouve que $\boxed{-3\text{ est bien une solution de l'équation}}$.

2. Puisque $-3$ est racine de $P$, on peut factoriser $P(z)$ par $(z+3)$. On cherche donc trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que : $$z^3+3z^2+z+3=(z+3)(az^2+bz+c)$$ En développant le membre de droite, on obtient $az^3+(b+3a)z^2+(c+3b)z+3c$, et par identification : $$\left\{\begin{array}{l} a=1\\ b+3a=3\\ c+3b=1\\ 3c=3\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l} a=1\\ b=0\\ c=1\end{array}\right.$$ On obtient donc la factorisation : $$z^3+3z^2+z+3=(z+3)(z^2+1)$$ Un produit étant nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $$z+3=0 \iff z=-3 \qquad\text{ou}\qquad z^2+1=0 \iff z^2=-1 \iff z=\pm i$$ On en déduit donc que : $$\boxed{\mathcal{S}=\{-3\;;\;-i\;;\;i\}}$$