Exercice 16

1. On reconnaît une équation bicarrée : on pose $Z=z^2$, ce qui donne : $$Z^2+3Z+2=0$$ Le discriminant vaut $\Delta=9-8=1>0$, ce qui donne les deux solutions : $$Z_1=\frac{-3-1}{2}=-2 \qquad\text{et}\qquad Z_2=\frac{-3+1}{2}=-1$$ Il reste à revenir à $z$ : $$z^2=-1 \iff z=\pm i \qquad\text{et}\qquad z^2=-2 \iff z=\pm i\sqrt{2}$$ On en déduit donc que : $$\boxed{\mathcal{S}=\left\{-i\;;\;i\;;\;-i\sqrt{2}\;;\;i\sqrt{2}\right\}}$$

2. On procède de la même manière en posant $Z=z^2$ : $$Z^2-32Z-144=0$$ Le discriminant vaut $\Delta=1024+576=1600>0$, et $\sqrt{1600}=40$, ce qui donne : $$Z_1=\frac{32-40}{2}=-4 \qquad\text{et}\qquad Z_2=\frac{32+40}{2}=36$$ Il reste à revenir à $z$ : $$z^2=36 \iff z=\pm 6 \qquad\text{et}\qquad z^2=-4 \iff z=\pm 2i$$ On en déduit donc que : $$\boxed{\mathcal{S}=\{-6\;;\;6\;;\;-2i\;;\;2i\}}$$