Exercice 15

1. Le discriminant de $(E_{m})$ vaut $\Delta=m^{2}-16=(m-4)(m+4)$. D'après la Proposition 6, l'équation admet deux solutions complexes non réelles si et seulement si $\Delta<0$, c'est-à-dire : $$\boxed{m\in\,]-4\;;\;4[}$$

2. Dans ce cas, $-\Delta=16-m^{2}>0$ et les solutions sont : $$\boxed{z_{1}=\frac{-m-i\sqrt{16-m^{2}}}{2} \qquad\text{et}\qquad z_{2}=\frac{-m+i\sqrt{16-m^{2}}}{2}}$$ Ces deux nombres sont conjugués, donc leur produit vaut, d'après la Proposition 4 : $$z_{1}z_{2}=\left(\frac{-m}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{16-m^{2}}}{2}\right)^{2}=\frac{m^{2}+16-m^{2}}{4} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{z_{1}z_{2}=4}$$ Le produit ne dépend pas de $m$ : c'est le coefficient constant de l'équation, comme dans l'exercice 14.

3. On a $(1+i\sqrt{3})^{2}=1+2i\sqrt{3}-3=-2+2i\sqrt{3}$. Ainsi : $$(1+i\sqrt{3})^{2}+m(1+i\sqrt{3})+4=0 \iff (2+m)+i\sqrt{3}\,(2+m)=0$$ d'où $\boxed{m=-2}$. Vérification : $z^{2}-2z+4=0$ a pour discriminant $-12$, et pour solutions $\dfrac{2\pm 2i\sqrt{3}}{2}=1\pm i\sqrt{3}$.