Exercice 14

On reconnaît ici la somme et le produit des racines d'un polynôme du second degré. En effet, si $z_1$ et $z_2$ vérifient $z_1+z_2=S$ et $z_1z_2=P$, alors ce sont les deux solutions de l'équation : $$Z^2-SZ+P=0$$ En effet, $(Z-z_1)(Z-z_2)=Z^2-(z_1+z_2)Z+z_1z_2$. Ici $S=2$ et $P=5$, on résout donc : $$Z^2-2Z+5=0$$ Le discriminant vaut : $$\Delta=4-20=-16<0 \qquad\text{et}\qquad \sqrt{16}=4$$ Les deux solutions sont donc $Z=\dfrac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i$. On en déduit donc que : $$\boxed{(z_1,z_2)=(1+2i\;;\;1-2i) \quad\text{ou}\quad (z_1,z_2)=(1-2i\;;\;1+2i)}$$