Exercice 13

1. On remplace $z$ par $1+2i$, en utilisant $(1+2i)^{2}=1+4i-4=-3+4i$ : $$(1+2i)^{2}+b(1+2i)+c=0 \iff (-3+b+c)+i(4+2b)=0$$ Comme $b$ et $c$ sont réels, on identifie les parties réelle et imaginaire : $4+2b=0$ et $-3+b+c=0$, d'où $\boxed{b=-2 \text{ et } c=5}$. L'équation $z^{2}-2z+5=0$ est à coefficients réels, de discriminant $\Delta=4-20=-16<0$ : ses deux solutions sont conjuguées, et l'autre solution est donc $\boxed{1-2i}$.

2. Si $3-i$ est solution d'une équation du second degré à coefficients réels de discriminant négatif, l'autre solution est $3+i$. On cherche donc le trinôme $(z-(3-i))(z-(3+i))$, de somme des racines $6$ et de produit $(3-i)(3+i)=10$ (exercice 14) : $$\boxed{z^{2}-6z+10=0}$$ Toute équation $a(z^{2}-6z+10)=0$ avec $a$ réel non nul convient également.