Exercice 12

On applique la méthode du discriminant, en utilisant le fait que si $\Delta<0$, l'équation $az^2+bz+c=0$ admet dans $\mathbb{C}$ deux solutions complexes conjuguées : $$z_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a} \qquad\text{et}\qquad z_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$$

1. Pour $2z^2-6z+5=0$, le discriminant vaut : $$\Delta=(-6)^2-4\times 2\times 5=36-40=-4$$ Comme $\Delta<0$, on a $\sqrt{-\Delta}=2$ et les deux solutions sont : $$z=\frac{6\pm 2i}{4}=\frac{3}{2}\pm\frac{1}{2}i$$

2. Pour $z^2-5z+9=0$ : $$\Delta=25-36=-11<0$$ Les deux solutions sont donc : $$\boxed{\mathcal{S}=\left\{\frac{5-i\sqrt{11}}{2}\;;\;\frac{5+i\sqrt{11}}{2}\right\}}$$

3. Pour $z^2-2z+3=0$ : $$\Delta=4-12=-8<0 \qquad\text{et}\qquad \sqrt{8}=2\sqrt{2}$$ Les deux solutions sont donc $z=\dfrac{2\pm 2i\sqrt{2}}{2}$, autrement dit : $$\boxed{\mathcal{S}=\left\{1-i\sqrt{2}\;;\;1+i\sqrt{2}\right\}}$$

4. On commence par écrire l'équation sous forme canonique, $z^2=z+1 \iff z^2-z-1=0$, ce qui donne : $$\Delta=(-1)^2-4\times 1\times(-1)=5>0$$ Le discriminant étant strictement positif, les deux solutions sont réelles : $$\boxed{\mathcal{S}=\left\{\frac{1-\sqrt{5}}{2}\;;\;\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right\}}$$

5. Pour $4z^2+3z+2=0$ : $$\Delta=9-32=-23<0$$ Les deux solutions sont donc : $$\boxed{\mathcal{S}=\left\{\frac{-3-i\sqrt{23}}{8}\;;\;\frac{-3+i\sqrt{23}}{8}\right\}}$$

6. Pour $z^2-2(1+\sqrt{2})z+2(\sqrt{2}+2)=0$, on calcule soigneusement le discriminant : $$\begin{aligned} \Delta &= \big(-2(1+\sqrt{2})\big)^2-4\times 1\times 2(\sqrt{2}+2)\\ &= 4(1+2\sqrt{2}+2)-8\sqrt{2}-16\\ &= 12+8\sqrt{2}-8\sqrt{2}-16\\ &= -4 \end{aligned}$$ Comme $\Delta<0$, on a $\sqrt{-\Delta}=2$ et les deux solutions sont : $$z=\frac{2(1+\sqrt{2})\pm 2i}{2}=(1+\sqrt{2})\pm i$$