Exercice 11

1. On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur $x+i(y+1)$, qui est $x-i(y+1)$ : $$\begin{aligned} Z &= \frac{\big((x-2)+iy\big)\big(x-i(y+1)\big)}{x^{2}+(y+1)^{2}}\\ &= \frac{x(x-2)+y(y+1)+i\big(xy-(x-2)(y+1)\big)}{x^{2}+(y+1)^{2}}\\ &= \frac{x^{2}+y^{2}-2x+y}{x^{2}+(y+1)^{2}}+i\,\frac{-x+2y+2}{x^{2}+(y+1)^{2}} \end{aligned}$$ On en déduit donc que : $$\boxed{\mathcal{R}e(Z)=\frac{x^{2}+y^{2}-2x+y}{x^{2}+(y+1)^{2}} \qquad\text{et}\qquad \mathcal{I}m(Z)=\frac{-x+2y+2}{x^{2}+(y+1)^{2}}}$$ Le dénominateur est non nul puisque $z\neq -i$, c'est-à-dire $(x,y)\neq(0,-1)$.

2. Le nombre $Z$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle : $$\boxed{Z\in\mathbb{R} \iff x-2y-2=0 \text{ et } z\neq -i}$$ Le nombre $Z$ est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle : $$\boxed{Z \text{ imaginaire pur} \iff x^{2}+y^{2}-2x+y=0 \text{ et } z\neq -i}$$ On remarque que le couple $(0,-1)$ vérifie les deux équations : il faut donc bien penser à l'exclure. Au chapitre consacré aux applications géométriques, on interprétera ces deux ensembles comme une droite et un cercle privés d'un point.

3. Pour $z\neq -i$ : $$Z=i \iff z-2=i(z+i) \iff z-2=iz-1 \iff z(1-i)=1 \iff z=\frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{2}$$ Ainsi $\boxed{z=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i}$. Avec $x=y=\frac{1}{2}$, on a bien $x^{2}+y^{2}-2x+y=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-1+\frac{1}{2}=0$ : $Z$ est imaginaire pur, ce qui est cohérent avec $Z=i$.