Exercice 10

On écrit $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels.

1. Vrai. D'après la Proposition 4, $z+\overline{z}=2a$ est réel.

2. Vrai. D'après la Proposition 4, $z-\overline{z}=2ib$ est imaginaire pur.

3. Vrai. D'après la Proposition 4, $z\overline{z}=a^{2}+b^{2}$, somme de deux carrés de réels.

4. Faux. Pour $z=i$, on a $z^{2}=-1$, qui est réel, alors que $i$ n'est pas réel. L'exercice 30 détermine tous les complexes dont le carré est réel.

5. Faux. D'après la Proposition 5, $\overline{iz}=\overline{i}\times\overline{z}=-i\overline{z}$. Par exemple, pour $z=1$, on a $\overline{i}=-i\neq i$.

6. Vrai. Si $z\overline{z}=a^{2}+b^{2}=0$, alors $a^{2}=b^{2}=0$ puisque ce sont deux nombres positifs, donc $a=b=0$ et $z=0$.