Exercice 9

1. Soit $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels. On a alors $\overline{z}=x-iy$, ce qui donne : $$\begin{aligned} Z &= z-2\overline{z}+2\\ &= (x+iy)-2(x-iy)+2\\ &= x+iy-2x+2iy+2\\ &= \underbrace{(2-x)}_{\in\mathbb{R}}+i\underbrace{(3y)}_{\in\mathbb{R}} \end{aligned}$$ On en déduit donc que : $$\boxed{\mathcal{R}e(Z)=2-x \qquad\text{et}\qquad \mathcal{I}m(Z)=3y}$$

Piège : le conjugué ne change que le signe de la partie imaginaire. Le terme $-2\overline{z}$ apporte donc $+2iy$, qui s'ajoute au $iy$ venant de $z$ : la partie imaginaire de $Z$ vaut $3y$, et non $-y$.

2. Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont toutes deux nulles. Ainsi : $$Z=0 \iff \left\{\begin{array}{l} 2-x=0\\ 3y=0\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l} x=2\\ y=0\end{array}\right.$$ On en déduit donc que : $$\boxed{\mathcal{S}=\{2\}}$$

3. On opère de façon similaire en posant $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels : $$\begin{aligned} \overline{z}=2z-2+6i &\iff x-iy=2(x+iy)-2+6i\\ &\iff x-iy=(2x-2)+i(2y+6) \end{aligned}$$ En identifiant les parties réelles et les parties imaginaires, on obtient alors : $$\left\{\begin{array}{l} x=2x-2\\ -y=2y+6\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l} x=2\\ 3y=-6\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l} x=2\\ y=-2\end{array}\right.$$ On en déduit donc que : $$\boxed{\mathcal{S}=\{2-2i\}}$$