Exercice 8

Méthode : une équation portant sur $\overline{z}$ se résout d'abord comme une équation d'inconnue $\overline{z}$. On conjugue ensuite le résultat pour revenir à $z$, en utilisant $\overline{\overline{z}}=z$.

1. On isole $\overline{z}$ : $$2\overline{z}=i-1 \iff \overline{z}=\frac{-1+i}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$ On conjugue alors les deux membres : $$z=\overline{\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\right)}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Piège : il ne faut pas s'arrêter à la valeur de $\overline{z}$, car c'est $z$ que l'énoncé demande. Les deux nombres ont la même partie réelle, mais des parties imaginaires opposées.

2. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Le premier facteur porte sur $z$, le second sur $\overline{z}$ : on les traite donc séparément.

Premier facteur : $$2z+1-i=0 \iff 2z=-1+i \iff z=\frac{-1+i}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$ Second facteur : $$i\overline{z}+i-2=0 \iff i\overline{z}=2-i \iff \overline{z}=\frac{2-i}{i}$$ Comme $\dfrac{1}{i}=-i$, on obtient $\overline{z}=(2-i)\times(-i)=-2i+i^2=-1-2i$, puis en conjuguant : $$z=\overline{(-1-2i)}=-1+2i$$ On en déduit donc que : $$\boxed{\mathcal{S}=\left\{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\;;\;-1+2i\right\}}$$

3. Comme $\overline{z}=-1 \iff z=-1$, l'équation n'a de sens que si $z\neq -1$. Sous cette condition : $$\begin{aligned} \frac{\overline{z}-1}{\overline{z}+1}=i &\iff \overline{z}-1=i(\overline{z}+1)\\ &\iff \overline{z}-i\overline{z}=1+i\\ &\iff \overline{z}(1-i)=1+i\\ &\iff \overline{z}=\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)^2}{1^2+1^2}=\frac{2i}{2}=i \end{aligned}$$ On conjugue pour revenir à $z$ : $z=\overline{i}=-i$. Cette valeur étant bien différente de $-1$, on en déduit que : $$\boxed{\mathcal{S}=\{-i\}}$$