Exercice 7

On résout ces systèmes par combinaisons linéaires, exactement comme avec des inconnues réelles.

1. On additionne les deux équations : $$\left\{\begin{array}{l} 3z+z'=2-5i\\ z-z'=-2+i\end{array}\right. \implies 4z=(2-5i)+(-2+i)=-4i \implies z=-i$$ La deuxième équation donne alors $z'=z+2-i=-i+2-i$, d'où : $$\boxed{(z,z')=(-i\;;\;2-2i)}$$

2. On soustrait la deuxième équation à la première : $$\left\{\begin{array}{l} 3z+z'=5+2i\\ -z+z'=1-2i\end{array}\right. \implies 4z=(5+2i)-(1-2i)=4+4i \implies z=1+i$$ La deuxième équation donne alors $z'=1-2i+z=1-2i+1+i$, d'où : $$\boxed{(z,z')=(1+i\;;\;2-i)}$$

3. La première équation donne $z'=2i-2iz$, que l'on substitue dans la seconde : $$\begin{aligned} 3z-i(2i-2iz)=1 &\iff 3z-2i^2+2i^2z=1\\ &\iff 3z+2-2z=1\\ &\iff z=-1 \end{aligned}$$ On en déduit ensuite que $z'=2i-2i\times(-1)=4i$, d'où : $$\boxed{(z,z')=(-1\;;\;4i)}$$

4. On additionne les deux équations : $$\left\{\begin{array}{l} z-z'=i\\ iz+z'=1\end{array}\right. \implies z+iz=i+1 \implies z(1+i)=1+i \implies z=1$$ La première équation donne alors $z'=z-i=1-i$, d'où : $$\boxed{(z,z')=(1\;;\;1-i)}$$