Exercice 6

1. On isole $z$ puis on multiplie par le conjugué : $$\begin{aligned} (1+i)z=3-i &\iff z=\frac{3-i}{1+i}\\ &\iff z=\frac{(3-i)(1-i)}{1^2+1^2}\\ &\iff z=\frac{3-3i-i+i^2}{2}=\frac{2-4i}{2} \end{aligned}$$ On en déduit donc que : $$\boxed{\mathcal{S}=\{1-2i\}}$$

2. On regroupe les termes en $z$ d'un côté de l'équation : $$\begin{aligned} 2z+1-i=iz+2 &\iff 2z-iz=2-1+i\\ &\iff z(2-i)=1+i\\ &\iff z=\frac{(1+i)(2+i)}{2^2+1^2}\\ &\iff z=\frac{2+i+2i-1}{5}=\frac{1+3i}{5} \end{aligned}$$ On en déduit donc que : $$\boxed{\mathcal{S}=\left\{\frac{1}{5}+\frac{3}{5}i\right\}}$$

3. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul, ainsi : $$2z+1-i=0 \iff z=\frac{-1+i}{2} \qquad\text{ou}\qquad iz+3=0 \iff z=\frac{-3}{i}=\frac{-3\times(-i)}{1}=3i$$ On en déduit donc que : $$\boxed{\mathcal{S}=\left\{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\;;\;3i\right\}}$$

4. L'équation n'a de sens que si $z\neq 1$. Sous cette condition : $$\begin{aligned} \frac{z+1}{z-1}=2i &\iff z+1=2i(z-1)\\ &\iff z-2iz=-1-2i\\ &\iff z(1-2i)=-1-2i\\ &\iff z=\frac{(-1-2i)(1+2i)}{1^2+2^2}\\ &\iff z=\frac{-1-2i-2i-4i^2}{5}=\frac{3-4i}{5} \end{aligned}$$ Cette valeur étant bien différente de $1$, on en déduit que : $$\boxed{\mathcal{S}=\left\{\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i\right\}}$$

5. On annule de nouveau chacun des facteurs l'un après l'autre : $$iz+1=0 \iff z=\frac{-1}{i}=i \qquad ; \qquad z+3i=0 \iff z=-3i$$

$$z-1+4i=0 \iff z=1-4i$$ On en déduit donc que : $$\boxed{\mathcal{S}=\{i\;;\;-3i\;;\;1-4i\}}$$