Exercice 5

Dans tout l'exercice, on utilise la Proposition 2 du cours : deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. Cela n'est possible que parce que $x$ et $y$ sont réels.

1. On identifie parties réelles et parties imaginaires : $$\left\{\begin{array}{l} 2x-1=5\\ x+y=-3\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l} x=3\\ y=-6\end{array}\right. \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{(x,y)=(3\;;\;-6)}$$

2. On écrit le membre de gauche sous forme algébrique : $x(1+i)+y(2-3i)=(x+2y)+i(x-3y)$. Ainsi : $$\left\{\begin{array}{l} x+2y=4\\ x-3y=-1\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l} 5y=5\\ x=4-2y\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l} y=1\\ x=2\end{array}\right. \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{(x,y)=(2\;;\;1)}$$

3. On développe : $(x+2i)(1-3i)=x-3ix+2i-6i^{2}=(x+6)+i(2-3x)$. Ce nombre est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, c'est-à-dire $\boxed{x=\dfrac{2}{3}}$, et il est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle, c'est-à-dire $\boxed{x=-6}$.