Exercice 4

Dans tout l'exercice, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, en utilisant le fait que pour tous réels $x$ et $y$ : $$(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2$$

1. On constate que : $$z=\frac{1}{1-i}=\frac{1\times(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+i}{1^2+1^2}=\frac{1+i}{2}$$

2. On procède de la même manière : $$z=\frac{1}{2-i\sqrt{3}}=\frac{2+i\sqrt{3}}{(2-i\sqrt{3})(2+i\sqrt{3})}=\frac{2+i\sqrt{3}}{4+3}=\frac{2+i\sqrt{3}}{7}$$

3. On écrit tout d'abord le dénominateur sous forme algébrique, $3i-4=-4+3i$, ce qui donne : $$z=\frac{1}{-4+3i}=\frac{-4-3i}{(-4)^2+3^2}=\frac{-4-3i}{25}$$

4. On constate que : $$z=\frac{i}{2+i}=\frac{i(2-i)}{2^2+1^2}=\frac{2i-i^2}{5}=\frac{1+2i}{5}$$

5. On constate que : $$\begin{aligned} z=\frac{4-6i}{3+2i}&=\frac{(4-6i)(3-2i)}{3^2+2^2}\\ &=\frac{12-8i-18i+12i^2}{13}\\ &=\frac{12-26i-12}{13}=\frac{-26i}{13} \end{aligned}$$

6. On procède de la même manière : $$\begin{aligned} z=\frac{5+15i}{1+2i}&=\frac{(5+15i)(1-2i)}{1^2+2^2}\\ &=\frac{5-10i+15i-30i^2}{5}\\ &=\frac{35+5i}{5} \end{aligned}$$

7. On constate que le conjugué du dénominateur est ici le numérateur lui-même : $$\begin{aligned} z=\frac{1+2i}{1-2i}&=\frac{(1+2i)^2}{1^2+2^2}\\ &=\frac{1+4i+4i^2}{5}=\frac{-3+4i}{5} \end{aligned}$$

8. On traite séparément les deux quotients : $$\frac{3-6i}{3+i}=\frac{(3-6i)(3-i)}{3^2+1^2}=\frac{9-3i-18i+6i^2}{10}=\frac{3-21i}{10}$$

$$\frac{4}{3-i}=\frac{4(3+i)}{3^2+1^2}=\frac{12+4i}{10}$$ Ce qui nous donne en sommant : $$z=\frac{3-21i}{10}+\frac{12+4i}{10}=\frac{15-17i}{10}$$

9. On remarque tout d'abord que $4-6i=2(2-3i)$, ce qui simplifie le premier quotient : $$\frac{4-6i}{2-3i}=\frac{2(2-3i)}{2-3i}=2$$ Ainsi : $$\begin{aligned} z=2\times\frac{1+3i}{3+2i}&=\frac{2(1+3i)(3-2i)}{3^2+2^2}\\ &=\frac{2(3-2i+9i-6i^2)}{13}\\ &=\frac{2(9+7i)}{13}=\frac{18+14i}{13} \end{aligned}$$