Exercice 3

1. On a $i^{3}=i^{2}\times i=-i$, $i^{4}=(i^{2})^{2}=1$, $i^{5}=i^{4}\times i=i$ et $i^{6}=i^{4}\times i^{2}=-1$. Les puissances de $i$ se répètent donc de quatre en quatre. Si $n=4q+r$ avec $0\leqslant r\leqslant 3$, alors $i^{n}=(i^{4})^{q}\times i^{r}=i^{r}$, d'où : $$\boxed{i^{n}=1 \text{ si } r=0, \qquad i^{n}=i \text{ si } r=1, \qquad i^{n}=-1 \text{ si } r=2, \qquad i^{n}=-i \text{ si } r=3}$$ C'est une application directe de la division euclidienne du chapitre 1.

2. On a $2026=4\times 506+2$ et $2027=4\times 506+3$, donc $\boxed{i^{2026}=-1}$ et $\boxed{i^{2027}=-i}$.

3. La somme comporte $2027$ termes. Quatre termes consécutifs ont une somme nulle, puisque $i^{4k}+i^{4k+1}+i^{4k+2}+i^{4k+3}=i^{4k}(1+i-1-i)=0$. Comme $2027=4\times 506+3$, il reste les trois derniers termes : $$S=i^{2024}+i^{2025}+i^{2026}=1+i-1 \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{S=i}$$ On peut aussi utiliser la conséquence de la Proposition 7 du cours, $(1-i)S=1-i^{2027}=1+i$, d'où $S=\dfrac{1+i}{1-i}=i$.

4. On a $(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=2i$. Ainsi $(1+i)^{2026}=\big((1+i)^{2}\big)^{1013}=(2i)^{1013}=2^{1013}\,i^{1013}$, et comme $1013=4\times 253+1$, $i^{1013}=i$. On en déduit : $$\boxed{(1+i)^{2026}=2^{1013}\,i}$$ Développer $(1+i)^{2026}$ par la formule du binôme serait ici une très mauvaise idée : l'astuce est de calculer d'abord le carré.