Exercice 2

1. On rappelle la formule du binôme de Newton : $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k}$$ Ainsi, en posant $a=1$ et $b=-i$ : $$\begin{aligned} (1-i)^4 &= \binom{4}{0}+\binom{4}{1}(-i)+\binom{4}{2}(-i)^2+\binom{4}{3}(-i)^3+\binom{4}{4}(-i)^4\\ &= 1+4\times(-i)+6\times(-1)+4\times i+1\\ &= 1-4i-6+4i+1 \end{aligned}$$

2. Soit $a\in\mathbb{R}$. On développe de la même façon : $$\begin{aligned} (a-i)^3 &= a^3+3a^2(-i)+3a(-i)^2+(-i)^3\\ &= a^3-3a^2i-3a+i\\ &= \underbrace{(a^3-3a)}_{\in\mathbb{R}}+i\underbrace{(1-3a^2)}_{\in\mathbb{R}} \end{aligned}$$

(a) Le nombre $(a-i)^3$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, c'est-à-dire : $$1-3a^2=0 \iff a^2=\frac{1}{3} \iff a=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$$ On en déduit donc que : $$\boxed{a\in\left\{-\frac{\sqrt{3}}{3}\;;\;\frac{\sqrt{3}}{3}\right\}}$$

(b) Le nombre $(a-i)^3$ est un imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle, c'est-à-dire : $$a^3-3a=0 \iff a(a^2-3)=0$$ Un produit étant nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul, on en déduit donc que : $$\boxed{a\in\left\{-\sqrt{3}\;;\;0\;;\;\sqrt{3}\right\}}$$