Exercice 1

On développe chacune des expressions puis on regroupe la partie réelle et la partie imaginaire, en utilisant systématiquement le fait que $i^2=-1$ :

1. On constate que : $$z = 3+2i-1+3i = (3-1)+(2+3)i \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{z = 2+5i}$$

2. On constate que : $$z = 6+i-(2+4i) = (6-2)+(1-4)i \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{z = 4-3i}$$

3. On constate que : $$z = 12-3i-4+8i-5 = (12-4-5)+(-3+8)i \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{z = 3+5i}$$

4. On développe le produit : $$\begin{aligned} z &= (1+2i)(4+3i)\\ &= 4+3i+8i+6i^2\\ &= 4+11i-6 \end{aligned}$$

5. On procède de la même manière : $$\begin{aligned} z &= (3-i)(2+7i)\\ &= 6+21i-2i-7i^2\\ &= 6+19i+7 \end{aligned}$$

6. On reconnaît une identité remarquable : $$\begin{aligned} z &= (1+i)^2\\ &= 1+2i+i^2\\ &= 1+2i-1 \end{aligned}$$

7. On reconnaît le produit d'une somme par sa différence : $$\begin{aligned} z &= (3+i\sqrt{5})(3-i\sqrt{5})\\ &= 3^2-(i\sqrt{5})^2\\ &= 9-5i^2 = 9+5 \end{aligned}$$

8. On reconnaît de nouveau une identité remarquable : $$\begin{aligned} z &= (2-5i)^2\\ &= 4-20i+25i^2\\ &= 4-20i-25 \end{aligned}$$

9. On développe en commençant par les deux premiers facteurs : $$\begin{aligned} z &= (1+i)(2-3i)(4-i)\\ &= \big(2-3i+2i-3i^2\big)(4-i)\\ &= (5-i)(4-i)\\ &= 20-5i-4i+i^2\\ &= 20-9i-1 \end{aligned}$$

10. On commence par développer le carré : $$\begin{aligned} z &= (2i+1)^2(3-2i)\\ &= (1+4i+4i^2)(3-2i)\\ &= (-3+4i)(3-2i)\\ &= -9+6i+12i-8i^2\\ &= -9+18i+8 \end{aligned}$$

11. On utilise le résultat de la question 6. : $$\begin{aligned} z &= \big((1+i)^2+i\big)^2\\ &= (2i+i)^2\\ &= (3i)^2 = 9i^2 \end{aligned}$$

12. On procède de l'intérieur vers l'extérieur : $$\begin{aligned} i(i+1) &= i^2+i = -1+i\\ \Rightarrow \; i+(-1+i) &= -1+2i\\ \Rightarrow \; i(-1+2i) &= -i+2i^2 = -2-i\\ \Rightarrow \; i+(-2-i) &= -2\\ \Rightarrow \; z = i\times(-2) &= -2i \end{aligned}$$