Exercice 23 Racines carrées d'un nombre complexe

1. On a $z^{2}=(x+iy)^{2}=(x^{2}-y^{2})+2ixy$. D'après la Proposition 2, $z^{2}=3+4i$ si et seulement si : $$\boxed{x^{2}-y^{2}=3 \qquad\text{et}\qquad 2xy=4}$$

2. La seconde équation impose $x\neq 0$ et $y=\dfrac{2}{x}$. En reportant dans la première : $$x^{2}-\frac{4}{x^{2}}=3 \iff x^{4}-3x^{2}-4=0$$ Ainsi $t=x^{2}$ est solution de $t^{2}-3t-4=0$, équation bicarrée comme dans l'exercice 16. Ses solutions sont $t=-1$ et $t=4$ ; comme $t=x^{2}$ est un réel positif, $x^{2}=4$, d'où $x=2$ et $y=1$, ou $x=-2$ et $y=-1$. Les racines carrées de $3+4i$ sont donc : $$\boxed{2+i \qquad\text{et}\qquad -2-i}$$ Vérification : $(2+i)^{2}=4+4i-1=3+4i$.

3. On procède de la même manière.

• Pour $-5+12i$ : $x^{2}-y^{2}=-5$ et $xy=6$, d'où $x^{4}+5x^{2}-36=0$, puis $x^{2}=4$ (l'autre solution $-9$ est négative). Les racines carrées sont $\boxed{\pm(2+3i)}$, et en effet $(2+3i)^{2}=4+12i-9=-5+12i$.

• Pour $8-6i$ : $x^{2}-y^{2}=8$ et $xy=-3$, d'où $x^{4}-8x^{2}-9=0$, puis $x^{2}=9$. Comme $xy<0$, les racines carrées sont $\boxed{\pm(3-i)}$, et en effet $(3-i)^{2}=9-6i-1=8-6i$.

• Pour $i$ : $x^{2}-y^{2}=0$ et $2xy=1$. La première équation donne $y=\pm x$, et la seconde impose $xy>0$, donc $y=x$ et $2x^{2}=1$. Les racines carrées sont $\boxed{\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}(1+i)}$.

4. Soit $z=x+iy$. Comme à la question 1, $z^{2}=a+ib$ si et seulement si $x^{2}-y^{2}=a$ et $2xy=b$. Comme $b\neq 0$, la seconde équation impose $x\neq 0$ et $y=\dfrac{b}{2x}$, et la première devient, avec $t=x^{2}$ : $$t^{2}-at-\frac{b^{2}}{4}=0$$ Le produit des racines de cette équation vaut $-\dfrac{b^{2}}{4}<0$ : elle admet donc deux racines réelles de signes contraires, et seule la racine positive $t_{0}=\dfrac{a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}$ peut être égale à $x^{2}$. On obtient $x=\sqrt{t_{0}}$ ou $x=-\sqrt{t_{0}}$, et $y=\dfrac{b}{2x}$ est alors déterminé. Il y a donc exactement deux racines carrées, et elles sont opposées puisque changer $x$ en $-x$ change $y$ en $-y$.

Lorsque $b=0$, le nombre $a$ est réel : ses racines carrées sont $\pm\sqrt{a}$ si $a>0$, et $\pm i\sqrt{-a}$ si $a<0$, ce qui est le cas utilisé dans la Proposition 6 du cours.