Exercice 24 Équation du second degré à coefficients complexes

1. On développe le membre de droite, en utilisant $\delta^{2}=\Delta=b^{2}-4ac$ : $$\begin{aligned} a\left[\left(z+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{\delta^{2}}{4a^{2}}\right] &= a\left[z^{2}+\frac{b}{a}z+\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\right]\\ &= a\left[z^{2}+\frac{b}{a}z+\frac{c}{a}\right] = az^{2}+bz+c \end{aligned}$$ C'est exactement la mise sous forme canonique vue en Première ; elle reste valable avec des coefficients complexes, puisque les règles de calcul sont les mêmes que dans $\mathbb{R}$.

2. Comme $a\neq 0$, et en factorisant la différence de deux carrés : $$az^{2}+bz+c=0 \iff \left(z+\frac{b}{2a}-\frac{\delta}{2a}\right)\left(z+\frac{b}{2a}+\frac{\delta}{2a}\right)=0 \iff z=\frac{-b+\delta}{2a} \text{ ou } z=\frac{-b-\delta}{2a}$$ On calcule ensuite $z_{1}+z_{2}=\dfrac{-2b}{2a}=-\dfrac{b}{a}$ et $$z_{1}z_{2}=\frac{(-b-\delta)(-b+\delta)}{4a^{2}}=\frac{b^{2}-\delta^{2}}{4a^{2}}=\frac{4ac}{4a^{2}}=\frac{c}{a}.$$ Lorsque $a$, $b$, $c$ sont réels et $\Delta<0$, on peut prendre $\delta=i\sqrt{-\Delta}$ et l'on retrouve la Proposition 6 du cours.

3. Ici $a=1$, $b=-(3+i)$ et $c=4+3i$ : $$\Delta=(3+i)^{2}-4(4+3i)=9+6i-1-16-12i=-8-6i$$ On cherche une racine carrée $\delta=x+iy$ de $-8-6i$, comme dans l'exercice 23 : $x^{2}-y^{2}=-8$ et $xy=-3$, d'où $x^{4}+8x^{2}-9=0$, puis $x^{2}=1$. On peut prendre $\delta=1-3i$ ; en effet $(1-3i)^{2}=1-6i-9=-8-6i$. Ainsi : $$z_{1}=\frac{3+i-(1-3i)}{2}=1+2i \qquad\text{et}\qquad z_{2}=\frac{3+i+(1-3i)}{2}=2-i$$

$$\boxed{\mathcal{S}=\{1+2i\;;\;2-i\}}$$ Vérification : $z_{1}+z_{2}=3+i$ et $z_{1}z_{2}=(1+2i)(2-i)=2-i+4i+2=4+3i$. Les deux solutions ne sont pas conjuguées : cette propriété n'est valable que pour les équations à coefficients réels.