Exercice 36

On a $4^{3}-6\times 4-40=64-24-40=0$ : $4$ est racine évidente. Par identification, $z^{3}-6z-40=(z-4)(z^{2}+4z+10)$, et le trinôme a pour discriminant $16-40=-24<0$, d'où les racines $\frac{-4\pm 2i\sqrt{6}}{2}$ : $$\boxed{\mathcal{S}=\{4\;;\;-2-i\sqrt{6}\;;\;-2+i\sqrt{6}\}}$$ Notons $u=\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}$ et $v=\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}$ les racines cubiques réelles de ces deux nombres, c'est-à-dire les uniques réels dont les cubes valent $20+14\sqrt{2}$ et $20-14\sqrt{2}$. On a : $$u^{3}+v^{3}=40 \qquad\text{et}\qquad (uv)^{3}=(20+14\sqrt{2})(20-14\sqrt{2})=400-392=8, \text{ donc } uv=2.$$ Comme dans l'exercice 27, $s=u+v$ vérifie $s^{3}=u^{3}+v^{3}+3uv\,s=40+6s$, donc $s$ est solution de $z^{3}-6z-40=0$. Or $s$ est réel, et la seule solution réelle de cette équation est $4$ : ainsi $\boxed{\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}=4}$.

Vérification : $(2+\sqrt{2})^{3}=8+12\sqrt{2}+12+2\sqrt{2}=20+14\sqrt{2}$, donc $u=2+\sqrt{2}$, $v=2-\sqrt{2}$, et $u+v=4$.