Exercice 37 Caractérisation de la conjugaison

a) On a $f(0)=f(0+0)=2f(0)$, donc $f(0)=0$. Par récurrence, $f(n+1)=f(n)+f(1)=f(n)+1$, donc $f(n)=n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$. Puis $f(n)+f(-n)=f(0)=0$, donc $f(-n)=-n$. Pour $q\in\mathbb{Z}^{*}$, $f(q)\,f\!\left(\frac{1}{q}\right)=f(1)=1$, donc $f\!\left(\frac{1}{q}\right)=\frac{1}{q}$. Enfin, pour $p\in\mathbb{Z}$ et $q\in\mathbb{Z}^{*}$, $f\!\left(\frac{p}{q}\right)=f(p)\,f\!\left(\frac{1}{q}\right)=\frac{p}{q}$. Ainsi $\boxed{f(x)=x \text{ pour tout } x\in\mathbb{Q}}$.

b) Par additivité, $f(y)=f(x)+f(y-x)$. Or $y-x=\left(\sqrt{y-x}\right)^{2}$, donc $f(y-x)=f\!\left(\sqrt{y-x}\right)^{2}\geqslant 0$. Ainsi $\boxed{f(y)-f(x)\geqslant 0}$.

c) Soit $x\in\mathbb{R}$. Supposons $f(x)<x$. Entre deux réels distincts, il existe toujours un rationnel (par exemple une valeur approchée décimale suffisamment précise) : soit $r\in\mathbb{Q}$ tel que $f(x)<r<x$. Comme $f$ est croissante et $r<x$, on a $r=f(r)\leqslant f(x)$, ce qui contredit $f(x)<r$. On exclut de même $f(x)>x$. Ainsi $\boxed{f(x)=x \text{ pour tout } x\in\mathbb{R}}$.

d) Comme en a), $g(0)=0$ et $g(-1)=-g(1)=-1$. Ainsi $g(i)^{2}=g(i^{2})=g(-1)=-1$, et les seuls complexes de carré $-1$ sont $i$ et $-i$ (si $z^{2}=-1$, alors $(z-i)(z+i)=z^{2}+1=0$). Donc $\boxed{g(i)\in\{-i\;;\;i\}}$.

e) Si $g(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}$, la restriction de $g$ à $\mathbb{R}$ vérifie les hypothèses des questions a) à c), donc $g(x)=x$ pour tout réel $x$. Pour $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels : $g(z)=g(a)+g(i)\,g(b)=a+g(i)\,b$. Si $g(i)=i$, alors $g(z)=z$ ; si $g(i)=-i$, alors $g(z)=\overline{z}$. Ainsi $\boxed{g \text{ est l'identité ou la conjugaison}}$.

La conjugaison est donc, avec l'identité, la seule application de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$ qui respecte l'addition et la multiplication et laisse fixes les réels : c'est ce qui explique qu'elle intervienne partout, et en particulier qu'elle échange les racines des polynômes à coefficients réels (exercice 32).