Exercice 33

1. On applique la méthode de l'exercice 23.

• Les racines carrées de $3+4i$ sont $\boxed{\pm(2+i)}$ (exercice 23).

• Pour $3-3i$ : $x^{2}-y^{2}=3$ et $xy=-\frac{3}{2}$, d'où $x^{4}-3x^{2}-\frac{9}{4}=0$. La solution positive est $x^{2}=\dfrac{3+3\sqrt{2}}{2}$, puis $y^{2}=x^{2}-3=\dfrac{3\sqrt{2}-3}{2}$. Comme $xy<0$ : $$\boxed{\pm\left(\sqrt{\frac{3+3\sqrt{2}}{2}}-i\sqrt{\frac{3\sqrt{2}-3}{2}}\right)}$$

• Pour $5-2i$ : $x^{2}-y^{2}=5$ et $xy=-1$, d'où $x^{4}-5x^{2}-1=0$, puis $x^{2}=\dfrac{5+\sqrt{29}}{2}$ et $y^{2}=\dfrac{\sqrt{29}-5}{2}$. Comme $xy<0$ : $$\boxed{\pm\left(\sqrt{\frac{5+\sqrt{29}}{2}}-i\sqrt{\frac{\sqrt{29}-5}{2}}\right)}$$

Vérification numérique : $\left(\sqrt{\frac{5+\sqrt{29}}{2}}-i\sqrt{\frac{\sqrt{29}-5}{2}}\right)^{2}\approx(2{,}2787-0{,}4388i)^{2}\approx 5{,}000-2{,}000i$.

2. On applique la méthode de l'exercice 24.

• Pour $z^{2}-2iz+i=0$ : $\Delta=(2i)^{2}-4i=-4-4i$. Une racine carrée $\delta=x+iy$ vérifie $x^{2}-y^{2}=-4$ et $xy=-2$, d'où $x^{2}=-2+2\sqrt{2}$ et $y^{2}=2+2\sqrt{2}$, avec $xy<0$. Après simplification ($\frac{1}{2}\sqrt{2\sqrt{2}-2}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$) : $$\boxed{\mathcal{S}=\left\{\sqrt{\tfrac{\sqrt{2}-1}{2}}+i\left(1-\sqrt{\tfrac{\sqrt{2}+1}{2}}\right)\;;\;-\sqrt{\tfrac{\sqrt{2}-1}{2}}+i\left(1+\sqrt{\tfrac{\sqrt{2}+1}{2}}\right)\right\}}$$ soit environ $0{,}455-0{,}099i$ et $-0{,}455+2{,}099i$. On vérifie que leur somme vaut bien $2i$.

• Pour $z^{2}+iz-1=0$ : $\Delta=i^{2}+4=3$, qui est réel positif, et $\delta=\sqrt{3}$. Ainsi : $$\boxed{\mathcal{S}=\left\{\frac{-\sqrt{3}-i}{2}\;;\;\frac{\sqrt{3}-i}{2}\right\}}$$

• Pour $(1+2i)z^{2}+3iz-(4+i)=0$ : $\Delta=(3i)^{2}+4(1+2i)(4+i)=-9+4(2+9i)=-1+36i$. Une racine carrée $\delta=x+iy$ vérifie $x^{2}-y^{2}=-1$ et $xy=18$, d'où $x^{2}=\dfrac{\sqrt{1297}-1}{2}$ et $y^{2}=\dfrac{\sqrt{1297}+1}{2}$, avec $xy>0$. On obtient : $$\boxed{z=\frac{(-3i\pm\delta)(1-2i)}{10} \qquad\text{avec}\qquad \delta=\sqrt{\tfrac{\sqrt{1297}-1}{2}}+i\sqrt{\tfrac{\sqrt{1297}+1}{2}}}$$ soit environ $0{,}679-0{,}707i$ et $-1{,}879+0{,}107i$. Les valeurs ne sont pas « jolies » : l'intérêt de l'exercice est de constater que la méthode fonctionne toujours.