Exercice 32

1. Écrivons $P(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}$ avec des $a_{k}$ réels, donc égaux à leurs conjugués. D'après la Proposition 5 : $$P(\overline{z})=\sum_{k=0}^{n}a_{k}\overline{z}^{k}=\sum_{k=0}^{n}\overline{a_{k}z^{k}}=\overline{\sum_{k=0}^{n}a_{k}z^{k}}=\overline{P(z)}=\overline{0}=0$$ Ainsi $\boxed{\overline{z} \text{ est racine de } P}$. C'est le raisonnement de l'exercice 19 dans le cas général.

2. a) On a $4^{3}-15\times 4-4=64-60-4=0$. On factorise par $(x-4)$ comme dans le cours : $x^{3}-15x-4=(x-4)(x^{2}+4x+1)$. Le trinôme $x^{2}+4x+1$ a pour discriminant $12>0$ et pour racines $-2\pm\sqrt{3}$. Ainsi : $$\boxed{\mathcal{S}=\{4\;;\;-2-\sqrt{3}\;;\;-2+\sqrt{3}\}}$$ Les trois solutions de l'équation de Bombelli (exercice 27) sont réelles, et pourtant la formule de Cardan passe par les complexes : c'est ce paradoxe qui a imposé les nombres complexes aux mathématiciens.

b) On a $1-6+11-6=0$, donc $1$ est racine évidente, et $x^{3}-6x^{2}+11x-6=(x-1)(x^{2}-5x+6)$. Le trinôme a pour racines $2$ et $3$, d'où : $$\boxed{\mathcal{S}=\{1\;;\;2\;;\;3\}}$$