Exercice 31

Soit $z=x+iy$ non nul, avec $x$ et $y$ réels. On a $\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\dfrac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}$, donc : $$Z=x\left(1+\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right)+iy\left(1-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right)$$

• Le nombre $Z$ est réel si et seulement si $y=0$ ou $x^{2}+y^{2}=1$. Ainsi $\boxed{Z\in\mathbb{R} \iff z\in\mathbb{R}^{*} \text{ ou } z\overline{z}=1}$.

• Comme $1+\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}>0$, le nombre $Z$ est imaginaire pur si et seulement si $x=0$ : $$\boxed{Z \text{ imaginaire pur} \iff z \text{ est un imaginaire pur non nul}}$$

On peut aussi raisonner sans forme algébrique : $Z$ est réel si et seulement si $Z=\overline{Z}$, c'est-à-dire $z-\overline{z}=\dfrac{z-\overline{z}}{z\overline{z}}$, soit $(z-\overline{z})(z\overline{z}-1)=0$. On retrouve le même ensemble dans l'exercice 35.