Exercice 30

Soit $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels. On a $z^{2}=(x^{2}-y^{2})+2ixy$.

a) Le nombre $z^{2}$ est réel si et seulement si $xy=0$, c'est-à-dire $x=0$ ou $y=0$ : $$\boxed{z^{2}\in\mathbb{R} \iff z \text{ est réel ou imaginaire pur}}$$

b) Le nombre $z^{2}$ est imaginaire pur si et seulement si $x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)=0$ : $$\boxed{z^{2} \text{ imaginaire pur} \iff y=x \text{ ou } y=-x}$$ c'est-à-dire $z=x(1+i)$ ou $z=x(1-i)$ avec $x$ réel.