Exercice 1

On rappelle que l'addition et la multiplication par un réel se font coefficient par coefficient, tandis que le coefficient d'indice $(i\,;j)$ du produit $MN$ s'obtient en multipliant la $i$-ième ligne de $M$ par la $j$-ième colonne de $N$.

a) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1+4 & 2+5 \\ 1+2 & 3-3 \end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}}$

b) $\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 2 \\ -1 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{4} & 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{1}{2}+1 & 2+\frac{1}{5} \\[1mm] -1+\frac{1}{4} & \frac{1}{3}+2 \end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix} \frac{3}{2} & \frac{11}{5} \\[1mm] -\frac{3}{4} & \frac{7}{3} \end{pmatrix}}$

c) $\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} -1 & -6 \\ 8 & 3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1-(-1) & 4-(-6) \\ 2-8 & -3-3 \end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix} 2 & 10 \\ -6 & -6 \end{pmatrix}}$

Piège classique : le signe $-$ porte sur chacun des quatre coefficients de la seconde matrice ; deux d'entre eux étant déjà négatifs, la soustraction les rend positifs.

d) $\begin{pmatrix} \frac{3}{7} & \frac{4}{3} \\[1mm] \frac{5}{2} & -\frac{1}{4} \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} \frac{6}{4} & 4 \\[1mm] -1 & \frac{3}{8} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{3}{7}-\frac{3}{2} & \frac{4}{3}-4 \\[1mm] \frac{5}{2}+1 & -\frac{1}{4}-\frac{3}{8} \end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix} -\frac{15}{14} & -\frac{8}{3} \\[1mm] \frac{7}{2} & -\frac{5}{8} \end{pmatrix}}$

en ayant simplifié $\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$, puis réduit au même dénominateur : $\dfrac{3}{7}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{6-21}{14}=-\dfrac{15}{14}$.

e) $2\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 8 & 10 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 6 & 10 \end{pmatrix}}$

f) $-\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} +\dfrac{2}{3}\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & 1 \\[1mm] -2 & -\frac{5}{2} \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 2 & -\frac{8}{3} \\[1mm] \frac{4}{3} & 0 \end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{5}{3} \\[1mm] -\frac{2}{3} & -\frac{5}{2} \end{pmatrix}}$

g) $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\times 2+(-1)\times 3+4\times 5 \end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix} 19 \end{pmatrix}}$

On remarque que le produit d'une matrice $1\times 3$ par une matrice $3\times 1$ est une matrice $1\times 1$, et non un réel — même si on l'identifie souvent à $19$.

h) $\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 3 & 4 & 0 \end{pmatrix} \times\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ -5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\times 2+(-2)\times(-3)+(-1)\times(-5) \\ 3\times 2+4\times(-3)+0\times(-5) \end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix} 13 \\ -6 \end{pmatrix}}$

i) $\begin{pmatrix} -2 & 3 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2\times 1+3\times(-5) & -2\times 4+3\times 2 \end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix} -17 & -2 \end{pmatrix}}$

j) $\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \times\begin{pmatrix} -1 & 5 \\ 9 & -6 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -3-18 & 15+12 \\ -4+27 & 20-18 \end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix} -21 & 27 \\ 23 & 2 \end{pmatrix}}$

k) $\begin{pmatrix} 1 & -3 & 4 \\ 2 & 0 & 5 \\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix} \times\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & -4 \\ 5 & 2 & 0 \end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix} 15 & -1 & 11 \\ 27 & 10 & -2 \\ 21 & 16 & -19 \end{pmatrix}}$

Détail du premier coefficient (ligne $1$ par colonne $1$) : $1\times 1+(-3)\times 2+4\times 5=1-6+20=15$, et l'on procède de la même manière pour les huit autres.

l) $\begin{pmatrix} -2 & 5 & 8 \\ 4 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \times\begin{pmatrix} 2 & 2 & -3 \\ 3 & 4 & -4 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix} 3 & 32 & 10 \\ 11 & 2 & -21 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}}$

On remarque que la troisième ligne de la première matrice est $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ : elle recopie donc telle quelle la troisième ligne de la seconde matrice, ce qui évite trois calculs.