Feuille d'exercicesMaths expertes, chapitre 3

Matrices

28 exercices corrigés · 12 8 7 1

Opérations sur les matrices

Exercice 1 Effectuer les calculs suivants: a) begin pmatrix 1 & 2 1 & 3 end pmatrix+begin pmatrix 4 & 5 2 & -3 end pmatrix b) begin pmatrix 1/2 & 2 -1 & 1/3…
Exercice 2 On considère la matrice: A=begin pmatrix x & 1 2 & 3 end pmatrix Déterminer x tel que A^2= begin pmatrix 6 & 1 2&11 end pmatrix.
Exercice 3 On considère les matrices: A=begin pmatrix 1&-2&03&1&4 end pmatrix, B=begin pmatrix 2&10&-11&3 end pmatrix et C=begin pmatrix 1&2-1&0 end pmatrix.…
Exercice 4 1. On pose A=begin pmatrix 1&2-1&3 end pmatrix et B=begin pmatrix 1&-12&0 end pmatrix. Déterminer la matrice X∈ M_2(ℝ) telle que 3X-A=2B. 2.…
Exercice 5 On considère les matrices suivantes: A=begin pmatrix3 & -1 -2 & 0 end pmatrix et B = begin pmatrix 0 & 1 3 & 2 end pmatrix 1. Calculer (A+B)^2,…
Exercice 6 On considère la matrice: A =begin pmatrix1&10&1 end pmatrix Trouver toutes les matrices B∈ M_2(ℝ) telles que AB=BA.
Exercice 7 Trouver deux matrices A et B dans M_2(ℝ) telles que AB=0 et BA≠0.
Exercice 8 Soient A et B deux matrices de M_2(ℝ) et k un réel. Dire si chacune des affirmations suivantes est Vraie ou Fausse, en justifiant par une…

Exercice 9 On considère les matrices suivantes: A=begin pmatrix0&0&10&1&01&0&0 end pmatrix et B=begin pmatrix0&1&00&0&11&0&0 end pmatrix 1. Calculer A^2, A^3,…
Exercice 10 On considère la matrice diagonale D=begin pmatrix 2&0&00&-1&00&0& 1/2 end pmatrix. 1. Calculer D^2, puis donner l'expression de D^n pour tout…
Exercice 11 On considère les matrices suivantes: A=begin pmatrix1 & -1 -1 & 1 end pmatrix et B = begin pmatrix 1 & 1 0 & 2 end pmatrix 1. Calculer A^2 et A^3.…
Exercice 12 On considère les matrices N=begin pmatrix 0&1&20&0&30&0&0 end pmatrix et A=I_3+N. 1. Calculer N^2 et N^3. En déduire N^k pour tout entier k≥ 3. 2.…

Exercice 13 Dans chaque cas, déterminer si A est inversible, et calculer A^(-1) si elle existe. a) A=begin pmatrix 4 & 10 2 & 5 end pmatrix b) A=begin pmatrix 4…
Exercice 14 Pour tout réel m, on considère la matrice A_m=begin pmatrix m&23&m-1 end pmatrix. 1. Calculer det (A_m) en fonction de m. 2. Déterminer les valeurs…
Exercice 15 On considère les matrices suivantes: A=begin pmatrix1&0&00&1&13&1&1 end pmatrix, B=begin pmatrix 1&1&1 0&1&0 1&0&0 end pmatrix et C=begin pmatrix…
Exercice 16 On considère la matrice suivante: A=begin pmatrix -1&1&1 1&-1&1 1&1&-1 end pmatrix 1. Montrer que A^2=2I_3-A. 2. En déduire que A est inversible, et…
Exercice 17 On considère la matrice suivante: A=begin pmatrix 0&1&-1 -1&2&-1 1&-1&2 end pmatrix 1. Calculer A^2+2I_3-3A. 2. En déduire que A est inversible, et…
Exercice 18 Soient A et B deux matrices inversibles de M_n(ℝ). 1. Montrer que AB est inversible et que (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1). 2. Vérifier ce résultat avec…
Exercice 19 On considère la matrice A=begin pmatrix 1&1&00&1&10&0&1 end pmatrix, et on pose N=A-I_3. 1. Calculer N^2 et N^3. 2. En développant (A-I_3)^3,…

Exercice 20 · Diagonalisation On considère les matrices suivantes: A= begin pmatrix4& -61&-1end pmatrix et P=begin pmatrix 3&21&1 end pmatrix 1. Montrer que P est inversible et…
Exercice 21 · Déterminant d'un produit 1. Soient A=begin pmatrix a&bc &d end pmatrix et B=begin pmatrix a'&b'c '&d' end pmatrix deux matrices de M_2(ℝ). Montrer que det (AB)=det (A)×det…
Exercice 22 · Théorème de Cayley-Hamilton en dimension 2 Soit A=begin pmatrix a&bc &d end pmatrix∈ M_2(ℝ). On note t=a+d, appelé trace de A. 1. Montrer que A^2-tA+det (A) I_2=0. 2. On suppose det (A)≠ 0.…
Exercice 23 · Trouver la matrice de passage On considère la matrice A=begin pmatrix 1&22&1 end pmatrix. Contrairement à l'exercice 20, la matrice P n'est pas donnée: il s'agit de la…

Exercice 24 · Les nombres complexes vus comme des matrices On pose J=begin pmatrix 0&-11&0 end pmatrix et, pour tout nombre complexe z=a+ib avec a et b réels: M(z)=aI_2+bJ=begin pmatrix a&-bb &a end pmatrix.…
Exercice 25 · Suite de Fibonacci La suite de Fibonacci (F_n)_(n≥ 0) est définie par F_0=0, F_1=1 et, pour tout n∈ℕ, F_(n+2)=F_(n+1)+F_n. On pose M=begin pmatrix 1&11&0 end pmatrix.…
Exercice 26 · Une suite récurrente d'ordre 2 Soit (u_n)_(n≥ 0) la suite définie par u_0=2, u_1=5 et, pour tout n∈ℕ, u_(n+2)=5u_(n+1)-6u_n. Pour tout n∈ℕ, on pose U_n=begin pmatrix u_(n+1)u _n…
Exercice 27 · Formule du binôme pour les matrices 1. Soient A et B deux matrices de M_p(ℝ) telles que AB=BA. Montrer par récurrence que, pour tout k∈ℕ, A^kB=BA^k. 2. En reprenant la démonstration de…
Exercice 28 · Matrices nilpotentes On dit qu'une matrice carrée N est nilpotente s'il existe un entier q≥ 1 tel que N^q=0. 1. Soient A∈ M_p(ℝ) et n∈ℕ^(). Montrer que: (I_p-A)…