Exercice 25 Suite de Fibonacci

1. On note $\mathcal{P}_{n}$ : « $M^{n}=\begin{pmatrix} F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1} \end{pmatrix}$ ».

Initialisation : Pour $n=1$ : $F_{2}=1$, $F_{1}=1$, $F_{0}=0$, et la matrice vaut bien $M$.

Hérédité : Si $\mathcal{P}_{k}$ est vraie, alors : $$M^{k+1}=M^{k}M=\begin{pmatrix} F_{k+1}&F_{k}\\F_{k}&F_{k-1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&1\\1&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} F_{k+1}+F_{k}&F_{k+1}\\F_{k}+F_{k-1}&F_{k} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} F_{k+2}&F_{k+1}\\F_{k+1}&F_{k} \end{pmatrix}.$$

Conclusion : Par récurrence, $\mathcal{P}_{n}$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$.

2. D'après l'exercice 21, $\det(M^{n})=\det(M)^{n}=(-1)^{n}$, puisque $\det(M)=0-1=-1$. Or $\det(M^{n})=F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}$, d'où $\boxed{F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}}$. C'est l'identité de Cassini ; avec $n+1$ à la place de $n$, elle donne $F_{n}F_{n+2}-F_{n+1}^{2}=(-1)^{n+1}$, ce que le poly fait conjecturer puis démontrer par récurrence. Vérification : pour $n=5$, $F_{6}F_{4}-F_{5}^{2}=8\times 3-25=-1$.

3. Le coefficient en haut à droite de $M^{m+n}$ vaut $F_{m+n}$. Celui de $M^{m}M^{n}$ s'obtient en multipliant la première ligne $(F_{m+1}\;;F_{m})$ de $M^{m}$ par la deuxième colonne $\begin{pmatrix} F_{n}\\F_{n-1} \end{pmatrix}$ de $M^{n}$. D'où $\boxed{F_{m+n}=F_{m+1}F_{n}+F_{m}F_{n-1}}$.

4. Avec $m=n$, $F_{2n}=F_{n+1}F_{n}+F_{n}F_{n-1}=F_{n}\left(F_{n+1}+F_{n-1}\right)$. Pour $n=10$ : $F_{20}=55\times(89+34)=55\times 123=\boxed{6765}$.