Exercice 24 Les nombres complexes vus comme des matrices

1. On obtient $J^{2}=\begin{pmatrix} -1&0\\0&-1 \end{pmatrix}=-I_{2}$, puis $J^{3}=-J$ et $J^{4}=I_{2}$. Si $n=4q+r$, alors $J^{n}=(J^{4})^{q}J^{r}=J^{r}$, d'où $J^{n}=I_{2}$, $J$, $-I_{2}$ ou $-J$ selon que $r=0$, $1$, $2$ ou $3$. C'est exactement le comportement des puissances de $i$ (exercice 3 du chapitre 2) : la matrice $J$ joue le rôle de $i$.

2. La somme est immédiate : $M(z)+M(z')=(a+a')I_{2}+(b+b')J=M(z+z')$. Pour le produit, $I_{2}$ commute avec $J$ et $J^{2}=-I_{2}$, donc : $$M(z)M(z')=(aI_{2}+bJ)(a'I_{2}+b'J)=(aa'-bb')I_{2}+(ab'+ba')J=M(zz'),$$ puisque $zz'=(aa'-bb')+i(ab'+ba')$.

3. $\det\big(M(z)\big)=a\times a-(-b)\times b=a^{2}+b^{2}=z\overline{z}$. D'après la Proposition 4 du cours, $M(z)$ est inversible si et seulement si $a^{2}+b^{2}\neq 0$, c'est-à-dire $z\neq 0$. Dans ce cas, d'après la question 2, $M(z)M\!\left(\frac{1}{z}\right)=M(1)=I_{2}$, et de même dans l'autre ordre, donc $\boxed{M(z)^{-1}=M\!\left(\dfrac{1}{z}\right)}$.

4. La matrice est $M(1+i)$. D'après la question 2 (par récurrence), $M(1+i)^{n}=M\big((1+i)^{n}\big)$, et d'après l'exercice 3 du chapitre 2, $(1+i)^{2026}=2^{1013}i$. Ainsi : $$\begin{pmatrix} 1&-1\\1&1 \end{pmatrix}^{2026}=M\left(2^{1013}i\right)=2^{1013}J=\boxed{\begin{pmatrix} 0&-2^{1013}\\2^{1013}&0 \end{pmatrix}}$$

L'application $z\mapsto M(z)$ transporte les calculs sur les complexes en calculs matriciels : on peut ainsi « construire » $\mathbb{C}$ sans postuler l'existence de $i$, ce qui répond à la démonstration admise de la Proposition 1 du chapitre 2.