Exercice 23 Trouver la matrice de passage

1. On a $A-\lambda I_{2}=\begin{pmatrix} 1-\lambda&2\\2&1-\lambda \end{pmatrix}$, de déterminant $(1-\lambda)^{2}-4=(1-\lambda-2)(1-\lambda+2)=(-1-\lambda)(3-\lambda)$. Cette matrice n'est pas inversible si et seulement si $\boxed{\lambda=3 \text{ ou } \lambda=-1}$.

2.

• Pour $\lambda=3$ : $AX=3X$ équivaut à $x+2y=3x$ et $2x+y=3y$, c'est-à-dire $y=x$. On peut prendre $X_{1}=\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}$.

• Pour $\lambda=-1$ : $AX=-X$ équivaut à $x+2y=-x$ et $2x+y=-y$, c'est-à-dire $y=-x$. On peut prendre $X_{2}=\begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix}$.

3. On a $P=\begin{pmatrix} 1&1\\1&-1 \end{pmatrix}$, de déterminant $-2\neq 0$, donc inversible, et $P^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1&1\\1&-1 \end{pmatrix}$. Comme $AP$ a pour colonnes $AX_{1}=3X_{1}$ et $AX_{2}=-X_{2}$ : $$AP=\begin{pmatrix} 3&-1\\3&1 \end{pmatrix}, \qquad P^{-1}AP=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1&1\\1&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3&-1\\3&1 \end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix} 3&0\\0&-1 \end{pmatrix}=D}$$

4. Comme dans l'exercice 20, $A^{n}=PD^{n}P^{-1}$, d'où : $$A^{n}=\begin{pmatrix} 1&1\\1&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3^{n}&0\\0&(-1)^{n} \end{pmatrix}\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1&1\\1&-1 \end{pmatrix} \qquad\text{soit}\qquad \boxed{A^{n}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 3^{n}+(-1)^{n}&3^{n}-(-1)^{n}\\3^{n}-(-1)^{n}&3^{n}+(-1)^{n} \end{pmatrix}}$$ Vérification : pour $n=1$, on retrouve $\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2&4\\4&2 \end{pmatrix}=A$.

Les nombres $3$ et $-1$ sont les valeurs propres de $A$, et $X_{1}$, $X_{2}$ des vecteurs propres : cette méthode de diagonalisation sera généralisée dans l'enseignement supérieur.