Exercice 22 Théorème de Cayley-Hamilton en dimension 2

1. On calcule $A^{2}=\begin{pmatrix} a^{2}+bc&ab+bd\\ca+dc&cb+d^{2} \end{pmatrix}$ et $tA=\begin{pmatrix} a^{2}+ad&ab+bd\\ac+cd&ad+d^{2} \end{pmatrix}$. Ainsi : $$A^{2}-tA=\begin{pmatrix} bc-ad&0\\0&bc-ad \end{pmatrix}=-\det(A)\,I_{2}, \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{A^{2}-tA+\det(A)\,I_{2}=0}.$$

2. On en déduit $A(tI_{2}-A)=(tI_{2}-A)A=\det(A)\,I_{2}$. Comme $\det(A)\neq 0$, on divise par $\det(A)$ : $$\boxed{A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\left(tI_{2}-A\right)=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix} d&-b\\-c&a \end{pmatrix}}$$ On retrouve exactement la formule de la Proposition 4 du cours, sans avoir eu à la deviner.

3. Si $\det(A)=0$, la relation devient $A^{2}=tA$. Supposons $A$ inversible : en multipliant par $A^{-1}$, on obtient $A=tI_{2}$, donc $\det(A)=t^{2}=0$, puis $t=0$ et $A=0$, ce qui contredit $A\neq 0$. Donc $\boxed{A \text{ n'est pas inversible}}$.

4. Ici $t=5$ et $\det(A)=4-6=-2$, donc $\boxed{A^{2}=5A+2I_{2}}$, puis $A^{3}=5A^{2}+2A=5(5A+2I_{2})+2A=\boxed{27A+10I_{2}}$. Vérification : $27A+10I_{2}=\begin{pmatrix} 37&54\\81&118 \end{pmatrix}$, qui est bien $A^{3}$.

Ce résultat porte le nom de Cayley, qui l'énonce en 1858 dans son mémoire fondateur sur les matrices et le vérifie en dimensions $2$ et $3$, et de Hamilton. Il est vrai en toute dimension.