Exercice 21 Déterminant d'un produit

1. On a $AB=\begin{pmatrix} aa'+bc'&ab'+bd'\\ca'+dc'&cb'+dd' \end{pmatrix}$, d'où : $$\begin{aligned} \det(AB) &= (aa'+bc')(cb'+dd')-(ab'+bd')(ca'+dc')\\ &= aa'cb'+aa'dd'+bc'cb'+bc'dd'-ab'ca'-ab'dc'-bd'ca'-bd'dc'\\ &= ad\,a'd'+bc\,b'c'-ad\,b'c'-bc\,a'd' = (ad-bc)(a'd'-b'c'). \end{aligned}$$ Ainsi $\boxed{\det(AB)=\det(A)\det(B)}$.

2. Par récurrence : $\det(A^{0})=\det(I_{2})=1=\det(A)^{0}$, et si $\det(A^{n})=\det(A)^{n}$, alors $\det(A^{n+1})=\det(A^{n}A)=\det(A)^{n}\det(A)=\det(A)^{n+1}$.

3. Si $A$ est inversible, $1=\det(I_{2})=\det(AA^{-1})=\det(A)\det(A^{-1})$, donc $\det(A)\neq 0$ et : $$\boxed{\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}}$$ On retrouve au passage un sens de la Proposition 4.

4. Si $A^{2}=\begin{pmatrix} -1&0\\0&1 \end{pmatrix}$, alors $\det(A)^{2}=\det(A^{2})=-1$, ce qui est impossible pour un réel. Il n'existe donc $\boxed{\text{aucune telle matrice}}$.

Le résultat de la question 1 reste vrai pour les matrices carrées de toute dimension, une fois le déterminant défini en dimension $n$ ; c'est l'un des théorèmes démontrés par Cauchy en 1812.