Exercice 20 Diagonalisation

1. $\det(P)=3\times 1-2\times 1=3-2=1\neq 0$, donc $P$ est inversible. Comme le déterminant vaut $1$, l'inverse s'écrit sans fraction : $$P^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\end{pmatrix}}$$ Vérification : $P\times P^{-1}=\begin{pmatrix}3-2&-6+6\\1-1&-2+3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\mathrm{Id}$, ce qui confirme le calcul.

2. On calcule le produit en deux temps, en commençant par $AP$ : $$AP=\begin{pmatrix}4&-6\\1&-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}12-6&8-6\\3-1&2-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6&2\\2&1\end{pmatrix}$$ puis : $$P^{-1}(AP)=\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}6&2\\2&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6-4&2-2\\-6+6&-2+3\end{pmatrix} =\boxed{D=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}}$$ Les coefficients hors de la diagonale sont nuls : $D$ est bien une matrice diagonale.

3. Considérons la propriété, définie pour tout entier naturel $n$ : $$\forall n\in\mathbb{N},\quad P_n : «\,D^{n}=P^{-1}A^{n}P\,»$$

Initialisation : Pour $n=0$, on a $D^{0}=\mathrm{Id}$ d'une part, et d'autre part $$P^{-1}A^{0}P=P^{-1}\,\mathrm{Id}\,P=P^{-1}P=\mathrm{Id}$$ Les deux membres coïncident, donc $P_0$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$. Supposons $P_k$ vraie, c'est-à-dire $D^{k}=P^{-1}A^{k}P$. Alors : $$D^{k+1}=D^{k}\times D =\left(P^{-1}A^{k}P\right)\times\left(P^{-1}AP\right) =P^{-1}A^{k}\underbrace{\left(PP^{-1}\right)}_{=\,\mathrm{Id}}AP =P^{-1}A^{k}AP=P^{-1}A^{k+1}P$$ en utilisant $D=P^{-1}AP$ (question 2) et l'associativité du produit matriciel. C'est exactement $P_{k+1}$, qui est donc vraie.

Conclusion : Par principe de récurrence, la propriété $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$ : $$\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\quad D^{n}=P^{-1}A^{n}P}$$

C'est le cœur de la méthode : c'est le télescopage des $PP^{-1}$ qui fait tout le travail, et il n'a lieu que parce que $P$ et $P^{-1}$ se retrouvent côte à côte.

4. De l'égalité précédente, on tire $A^{n}$ en multipliant à gauche par $P$ et à droite par $P^{-1}$ : $$D^{n}=P^{-1}A^{n}P \iff PD^{n}P^{-1}=\underbrace{PP^{-1}}_{=\,\mathrm{Id}}A^{n}\underbrace{PP^{-1}}_{=\,\mathrm{Id}} \iff A^{n}=PD^{n}P^{-1}$$

Or $D$ étant diagonale, ses puissances se calculent coefficient par coefficient : $$D^{n}=\begin{pmatrix}2^{n}&0\\0&1^{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2^{n}&0\\0&1\end{pmatrix}$$

On effectue alors le produit, de gauche à droite : $$PD^{n}=\begin{pmatrix}3&2\\1&1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2^{n}&0\\0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\times 2^{n}&2\\2^{n}&1\end{pmatrix}$$

Vérifications. Pour $n=0$ : $\begin{pmatrix}3-2&6-6\\1-1&3-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\mathrm{Id}$. Pour $n=1$ : $\begin{pmatrix}6-2&6-12\\2-1&3-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-6\\1&-1\end{pmatrix}=A$. Les deux cas particuliers confirment la formule.

Bilan de la méthode. Calculer directement $A^{n}$ était hors de portée : aucune relation simple ne relie $A^{n+1}$ à $A^{n}$. L'astuce consiste à remplacer $A$ par la matrice diagonale $D$, dont les puissances sont immédiates, puis à revenir à $A^{n}$ grâce à l'égalité $A^{n}=PD^{n}P^{-1}$. Tout repose sur le couple $(P\,;P^{-1})$, dont les produits se télescopent à chaque étape.