Exercice 19

1. On a $N=\begin{pmatrix} 0&1&0\\0&0&1\\0&0&0 \end{pmatrix}$, puis $N^{2}=\begin{pmatrix} 0&0&1\\0&0&0\\0&0&0 \end{pmatrix}$ et $\boxed{N^{3}=0}$.

2. Les matrices $A$ et $I_{3}$ commutent, donc on peut développer $(A-I_{3})^{3}$ comme une identité remarquable (exercice 27) : $$0=N^{3}=(A-I_{3})^{3}=A^{3}-3A^{2}+3A-I_{3}.$$ Le point essentiel est que $AI_{3}=I_{3}A$ ; sans cela, le développement serait faux (exercice 5).

3. On isole $I_{3}$ et on factorise par $A$ : $$A^{3}-3A^{2}+3A=I_{3} \iff A\left(A^{2}-3A+3I_{3}\right)=I_{3},$$ et de même $\left(A^{2}-3A+3I_{3}\right)A=I_{3}$. Donc $\boxed{A \text{ est inversible et } A^{-1}=A^{2}-3A+3I_{3}}$.

4. On calcule $A^{2}=\begin{pmatrix} 1&2&1\\0&1&2\\0&0&1 \end{pmatrix}$, puis : $$A^{-1}=\begin{pmatrix} 1&2&1\\0&1&2\\0&0&1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3&3&0\\0&3&3\\0&0&3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3&0&0\\0&3&0\\0&0&3 \end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix} 1&-1&1\\0&1&-1\\0&0&1 \end{pmatrix}}$$ Vérification : le produit $A\times A^{-1}$ donne bien $I_{3}$ ; par exemple, la première ligne vaut $(1\;;-1+1\;;1-1)=(1\;;0\;;0)$.

C'est la méthode des exercices 16 et 17 ; l'exercice 28 montrera que $A^{-1}=I_{3}-N+N^{2}$ s'obtient aussi comme une « somme géométrique ».