Exercice 18

1. Par associativité du produit : $$(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AI_{n}A^{-1}=AA^{-1}=I_{n},$$

$$(B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}I_{n}B=B^{-1}B=I_{n}.$$ Donc $\boxed{AB \text{ est inversible et } (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}$. L'ordre s'inverse, comme lorsqu'on retire ses chaussettes après ses chaussures.

2. On a $A^{-1}=\begin{pmatrix} 1&-1\\-1&2 \end{pmatrix}$, $B^{-1}=\begin{pmatrix} 1&-2\\0&1 \end{pmatrix}$ et $AB=\begin{pmatrix} 2&5\\1&3 \end{pmatrix}$, de déterminant $1$, donc $(AB)^{-1}=\begin{pmatrix} 3&-5\\-1&2 \end{pmatrix}$. On vérifie que $B^{-1}A^{-1}=\begin{pmatrix} 3&-5\\-1&2 \end{pmatrix}$, alors que $A^{-1}B^{-1}=\begin{pmatrix} 1&-3\\-1&4 \end{pmatrix}$ est différente.

3. Les égalités $AA^{-1}=A^{-1}A=I_{n}$ montrent aussi que $A^{-1}$ est inversible, d'inverse $\boxed{\left(A^{-1}\right)^{-1}=A}$.

4. Par récurrence : $A^{0}=I_{n}$ est inversible d'inverse $I_{n}=(A^{-1})^{0}$, et si $(A^{k})^{-1}=(A^{-1})^{k}$, alors d'après la question 1, $A^{k+1}=A^{k}A$ est inversible et $$\left(A^{k+1}\right)^{-1}=A^{-1}\left(A^{k}\right)^{-1}=A^{-1}\left(A^{-1}\right)^{k}=\left(A^{-1}\right)^{k+1}.$$