Exercice 17

1. Calculons d'abord $A^{2}$ : $$A^{2}=\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&2&-1\\1&-1&2\end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&2&-1\\1&-1&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2&3&-3\\-3&4&-3\\3&-3&4\end{pmatrix}$$ Détail de la première ligne : $0\times 0+1\times(-1)+(-1)\times 1=-2$ ; $0\times 1+1\times 2+(-1)\times(-1)=3$ ; $0\times(-1)+1\times(-1)+(-1)\times 2=-3$.

On assemble alors les trois termes : $$A^{2}+2I_{3}-3A=\begin{pmatrix}-2&3&-3\\-3&4&-3\\3&-3&4\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}0&3&-3\\-3&6&-3\\3&-3&6\end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=0}$$

2. De la relation $A^{2}-3A+2I_{3}=0$, on tire : $$A^{2}-3A=-2I_{3} \iff A\left(A-3I_{3}\right)=-2I_{3} \iff A\times\left(-\frac{1}{2}\right)\left(A-3I_{3}\right)=I_{3}$$ La matrice $A$ est donc inversible, et son inverse vaut $-\frac{1}{2}\left(A-3I_{3}\right)=\frac{1}{2}\left(3I_{3}-A\right)$ : $$A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{pmatrix}3&0&0\\0&3&0\\0&0&3\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&2&-1\\1&-1&2\end{pmatrix}\right) =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3&-1&1\\1&1&1\\-1&1&1\end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\[1mm] \frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\[1mm] -\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}}$$

On remarque que la méthode est exactement la même qu'à l'exercice 16 : dès qu'une relation polynomiale en $A$ possède un terme constant non nul, on peut isoler $I_{3}$ et factoriser par $A$, ce qui fournit l'inverse sans aucun calcul de déterminant.