Exercice 16

1. Calculons d'abord $A^{2}$ : $$A^{2}=\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix}$$ Détail du coefficient en haut à gauche : $(-1)\times(-1)+1\times 1+1\times 1=1+1+1=3$.

Calculons ensuite le membre de droite : $$2I_{3}-A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&3\end{pmatrix}$$ Les deux matrices sont identiques, donc $$\boxed{A^{2}=2I_{3}-A}$$

2. Réécrivons cette relation en faisant apparaître $I_{3}$ à droite : $$A^{2}=2I_{3}-A \iff A^{2}+A=2I_{3} \iff A\left(A+I_{3}\right)=2I_{3}$$ en factorisant par $A$ à gauche — ce qui est licite, $A$ étant en facteur du même côté dans les deux termes. En divisant par $2$ : $$A\times\frac{1}{2}\left(A+I_{3}\right)=I_{3}$$ La matrice $A$ admet donc un inverse, à savoir : $$A^{-1}=\frac{1}{2}\left(A+I_{3}\right) =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix} =\boxed{\begin{pmatrix}0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\[1mm] \frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\\[1mm] \frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0\end{pmatrix}}$$

Remarque de rédaction : il faudrait en toute rigueur vérifier aussi $\frac{1}{2}\left(A+I_{3}\right)\times A=I_{3}$. C'est immédiat ici, puisque $A$ commute avec $A+I_{3}$ (une matrice commute toujours avec elle-même et avec l'identité).